Демидович
381

Показать, что функция, определяемая условиями:

где и — взаимно простые числа и , и

конечна, но не ограничена в каждой точке (т. е. не ограничена в любой окрестности этой точки).

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Рациональные

Докажите, что для любой несократимой дроби существует бесконечно много натруальных чисел , таких, что число

тоже является несократимой дробью и все это выржение стремится к

Иррациональные

Воспользуйтесь тем, что между двумя неравными вещественными числами всегда найдется рациональное число.

Решение

Для решения нам потребуется воспользоваться следующим фактом, который требуется доказать.

Пусть — несократимая дробь, причем — целое, а — натуральное. Тогда существует бесконечно много натуральных чисел, которые мы обозначим возрастающей последовательностью , таких, что тоже является несократимой дробью.

Рациональное

Рассмотрим такие , которе представляют собой несократимые дроби .

Для каждой такой дроби , по теореме из начала решения, можно найти возрастающую последовательность натуральных чисел . Введем тогда следующую числовую последовательность:

Покажем, что она стремится к :

Мы воспользовались тем фактом, что является подпоследовательностью элементарной последовательности , которая стремится к (см. прото-задачу П.10).

Теперь покажем, что не ограничена в любой окрестности этой точки. Докажем от противного, то есть предположим, что она ограничена в любой окрестности этой точки.

Возьмем произвольную -окрестность точки . По нашему предположению в этой окрестности ограничена некоторым числом .

Как мы показали выше, точка является пределом последовательности . Это по определению предела последовательности означает, что в любой ее окрестности содержится бесконечно много членов , в том числе и в рассматриваемой нами -окрестности.

Но раз имеем бесконечно много элементов , то имеем бесконечного членов , среди которых можно выбрать такое , которое больше . Тогда:

Получаем противоречие:

Подобный процесс можно провести для любой точки , любой ее окрестности и любого "ограничителя" , а это означает, что не ограничена в любой окрестности любой точки вида .

Иррациональное

Пусть теперь равен какому-то произвольному иррациональному числу .

Возьмем произвольную -окрестность . Она имеет вид . По свойству плотности множества вещественных чисел, между любыми неравными вещественными числами всегда найдется какое-то рациональное число. Обозначим рациональное число между и за . Это рациональное число можно представить несократимой дробью .

Собственно, в этот момент можно просто повторить доказательство неограниченности для рациональных выше, только с учетом того, что окрестности надо брать такие, которые входят в -окрестность .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.