Демидович
381

Показать, что функция, определяемая условиями:

где и — взаимно простые числа и , и

конечна, но не ограничена в каждой точке (т. е. не ограничена в любой окрестности этой точки).

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Указание

Докажите следующую лемму:

У любой точки всегда найдется проколотая окрестность , в которой не найдется дробей с знаменателем меньшим или равным произвольно заданному .

Решение

Лемма

У любой точки всегда найдется проколотая окрестность , в которой не найдется дробей с знаменателем меньшим или равным произвольно заданному .


Зафиксируем произвольные и . Разберем два возможных варианта:

  1. можно представить в виде дроби с каким-то целым числителем и знаменателем
  2. нельзя представить в этом виде

Докажем справедливость леммы в обеих вариантах.

нельзя представить в виде дроби

Тот факт, что нельзя представить в виде дроби означает, что произведение не равняется какому-то целому числу. То есть, число нецелое.

Мы можем "зажать" это нецелое число между его округлениями снизу и сверху, то есть между какими-то соседними целыми и , чтобы выполнялось неравенство:

Поделим все части неравенства на натуральное :

Получили отрезок вещественной прямой, длина которого равна :

Пример полученного отрезка

Докажем теперь два ключевых утверждения:

  1. В этом отрезке не может быть дробей вида (кроме его концов).
Доказательство

На самом деле очевидно, что отрезок состоит из чисел между соседними дробями и и между ними не может быть еще одной дроби с таким же знаменателем (и целым числителем).

Если формально, предположим, что в этом отрезке все же присутствует некая дробь . Но тогда:

Получается, что из разности двух целых чисел и мы получили нецелое число. Противоречие. Значит, дробь не принадлежит рассматриваемому отрезку.

  1. В этом отрезке не может быть больше одной дроби на каждый знаменатель, меньший . Другими словами, в отрезке находится ограниченное количество дробей с знаменателем, меньшим .
Доказательство

Пусть в нашем отрезке имеется вот такая дробь:

Если она одна, то проблем нет. Предположим, в этом отрезке есть еще какая-нибудь дробь с таким же знаменателем:

Найдем расстояние между двумя этими дробями:

Но ведь у нас , поэтому можно провести следующие преобразования:

Получается, расстояние между двумя дробями в нашем отрезке больше, чем длина самого этого отрезка! Противоречие. Значит, в отрезке не может быть больше одной дроби с знаменателем .

Подобные рассуждения можно провести для любого знаменателя, меньшего . Но таких знаменателей всего штук (от до )! Значит, в отрезке может быть не больше дробей с меньшим знаменателем!

Обозначим ближайшую слева к дробь с меньшим знаменателем за . Если слева от таких дробей не оказалось, то за принимаем левую границу отрезка. Аналогично, за обозначаем ближайшую справа к дробь с меньшим знаменателем (или правую границу отрезка).

Тогда мы можем ввести окрестность точки :

Пример окрестности 1

В этой окрестности нет дробей с знаменателем, который меньше или равен .

можно представить в виде дроби

Если

То рассмотрим два отрезка, между которые разделены точкой :

Пользуясь доказанными выше утверждениями, в первом и втором отрезках находится ограниченное количество дробей с знаменателем, меньшим .

Обозначим за самую правую такую дробь из первого отрезка (или его левую границу, если таких дробей нет). За обозначим самую левую дробь из второго отрезка (или его правую границу).

Тогда мы можем ввести окрестность точки :

Так как сама точка входит в эту окрестность, для выполнения условий леммы мы обязаны исключить ее из этой окрестности. Получаем проколотую окрестность:

Пример окрестности 2

В этой проколотой окрестности нет дробей с знаменателем, который меньше или равен .

Решение задачи

В каждой точке вещественной прямой функция конечна, так как по определению она в этой точке равна либо , либо какому-то рациональному числу.

Зафиксируем произвольную точку и произвольную ее окрестность .

Предположим, что функция ограничена в окрестности . Значит существует граница . По принципу Архимеда мы можем найти натуральное число .

Тогда, согласно доказанной выше лемме, существует проколотая окрестность , в которой нет дробей (в том числе и несократимых) с знаменателем, меньшим или равным . Введем обозначение

является пролотой окрестностью точки , целиком содержится в и в ней нет дробей с знаменателем, меньшим или равным . Но рациональные числа в все же есть (исходя из непрерывности множества ). Возьмем какое-нибудь их них. Оно имеет вид несократимой дроби ( и взаимно простые), причем .

Мы можем повторить эти рассуждения уже для и получить , а затем и , в котором найдется .

Таким образом, внутри мы построили последовательность дробей:

Причем знаменатели представляют собой бесконечно возрастающую подпоследовательность натуральных чисел:

Но по определению значения функции для этих дробей как раз и равны их знаменателям, а значит значения функции тоже являются возрастающей подпоследовательностью натуральных чисел, которая превысит любую наперед заданную границу.

Значит, функция является неограниченной в окрестности точки , а значит и в любой окрестности любой точки вещественной прямой.

Указание

Докажите, что на любом отрезке вида найдется хотя бы одна (возможно, сократимая) дробь со знаменателем .

Затем докажите, что на любом интервале длины найдется нескоратимая дробь с знаменателем .

Решение

Лемма 1

На любом отрезке вида найдется хотя бы одна (возможно, сократимая) дробь со знаменателем .

Доказательство

Пусть . Тогда

Прибавим ко всем частям неравенства единицу и объединим с предыдущим неравенством:

Разделим все части неравенства на :

Отсюда дробь в центре и является искомой дробью, которая удовлетворяет условию леммы.

Лемма 2

На любом интервале длины найдется нескоратимая дробь с знаменателем .

Доказательство

Зафиксируем произвольный интервал вещественной прямой с длиной .

Выделим на этом интервале два последовательных "прижатых друг к другу" отрезка и с одинаковыми длинами, равными .

Они оба поместятся в , так как их суммарная длина меньше длины интервала .

В первом отрезоке , по лемме 1, найдется дробь вида:

Рассмотрим соседнюю к дробь, прибавив ко всем частям неравенства :

Исходя из этого неравенства получаем, что .

Итак, у нас в отрезках и есть две соседние дроби:

У одной из двух этих дробей числитель обязательно будет нечетным, а значит какая-то из них точно несократимая.

Лемма 3

Внутри любого промежутка с длиной можно выделить интервал длины при .

Доказательство

Найдем такое . Для этого рассмотрим неравенство:

Прологарифмируем обе части по основанию :

Итак достаточно найти натуральное , которое удовлетворяет неравенству выше (а оно найдется по принципу Архимеда) и тогда для любого , в промежутке с длиной можно выделить интервалы с длиной .

Решение

Нам нужно доказать, что функция неограничена в любой своей окрестности. Предположим противное. Пусть существует -окрестность , в которой она ограничена некоторым числом . Тогда, по лемме 3 в этой окрестности найдется .

Возьмем . Тогда, в -окрестности найдется интервал с длиной . По лемме 2, в этом интервале найдется несократимая дробь .

Но

Получили противоречие. Значит, функция есть неограниченная на всей вещественной прямой.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!