Показать, что функция, определяемая условиями:
где и — взаимно простые числа и , и
конечна, но не ограничена в каждой точке (т. е. не ограничена в любой окрестности этой точки).
Показать, что функция, определяемая условиями:
где и — взаимно простые числа и , и
конечна, но не ограничена в каждой точке (т. е. не ограничена в любой окрестности этой точки).
Докажите, что для любой несократимой дроби существует бесконечно много натруальных чисел , таких, что число
тоже является несократимой дробью и все это выржение стремится к
Воспользуйтесь тем, что между двумя неравными вещественными числами всегда найдется рациональное число.
Для решения нам потребуется воспользоваться следующим фактом, который требуется доказать.
Пусть — несократимая дробь, причем — целое, а — натуральное. Тогда существует бесконечно много натуральных чисел, которые мы обозначим возрастающей последовательностью , таких, что тоже является несократимой дробью.
Рассмотрим такие , которе представляют собой несократимые дроби .
Для каждой такой дроби , по теореме из начала решения, можно найти возрастающую последовательность натуральных чисел . Введем тогда следующую числовую последовательность:
Покажем, что она стремится к :
Мы воспользовались тем фактом, что является подпоследовательностью элементарной последовательности , которая стремится к (см. прото-задачу П.10).
Теперь покажем, что не ограничена в любой окрестности этой точки. Докажем от противного, то есть предположим, что она ограничена в любой окрестности этой точки.
Возьмем произвольную -окрестность точки . По нашему предположению в этой окрестности ограничена некоторым числом .
Как мы показали выше, точка является пределом последовательности . Это по определению предела последовательности означает, что в любой ее окрестности содержится бесконечно много членов , в том числе и в рассматриваемой нами -окрестности.
Но раз имеем бесконечно много элементов , то имеем бесконечного членов , среди которых можно выбрать такое , которое больше . Тогда:
Получаем противоречие:
Подобный процесс можно провести для любой точки , любой ее окрестности и любого "ограничителя" , а это означает, что не ограничена в любой окрестности любой точки вида .
Пусть теперь равен какому-то произвольному иррациональному числу .
Возьмем произвольную -окрестность . Она имеет вид . По свойству плотности множества вещественных чисел, между любыми неравными вещественными числами всегда найдется какое-то рациональное число. Обозначим рациональное число между и за . Это рациональное число можно представить несократимой дробью .
Собственно, в этот момент можно просто повторить доказательство неограниченности для рациональных выше, только с учетом того, что окрестности надо брать такие, которые входят в -окрестность .