Демидович
382

Если функция определена и локально ограничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то является ли эта функция ограниченной на данном интервале или соответственно сегменте?

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Пункт а)

Рассмотрите функцию на интервале .

Докажите, что для нее выполняются оба критеря из условия, но при этом она является неограниченной на интервале .

Пункт б)

Предположите, что неограничена на отрезке .

Пользуясь неограниченностью, постройте последовательность из на отрезке , такую, что .

Воспользуйтесь задачей 125 и покажите, что нарушается критерий локальной ограниченности.

Решение

Пункт а)

Будем рассматривать функцию на интервале .

Почему именно такая функция?

В задании речь идет про ограниченность функций. Гипербола является одним из простейших примеров функций, которые уходят в бесконечность. Конкретно ее мы взяли из-за того, что она уходит в бесконечность при приближении к , что сильно упрощает вычисления и рассуждения.

Докажем, что наша гипербола на выбранном нами интервале удовлетворяет двум критериям из условия:

  1. должна быть определена в каждой точке интверала
  2. должна быть локально ограничена в каждой точке интервала
Доказательство 1 критерия

Функция определена для всех вещественных чисел, кроме . В интервале нет , поэтому определена в каждой его точке.

Доказательство 2 критерия

Пусть нам дана произвольная точка из интервала . Тогда интервал будет являться окрестностью точки .

Докажем, что является границей функции для любого из окрестности . То есть, докажем, что для произвольного из окрестности выполняется неравенство:

Так как — положительное число (в силу выбранного интервала), то знак модуля можно опустить:

Последнее неравенство выполняется по определению окрестности , к которой и принадлежит .

Мы показали, что для любого из интервала найдется окрестность , в которой функция ограничена числом .

Это по определению означает, что локально ограничена в каждой точке интервала .

Осталось только доказать, что функция на интервале неограничена. Докажем от обратного. Пусть существует какая-то граница функции на интервале , то есть:

Можно убрать знаки модуля, так как рассматриваемые положительные:

Если , то получаем противоречие, ведь взяв, например получим , что явно больше . Значит, не может быть строго меньше .

Пусть тогда . Но и в этом случае можно взять такой :

Этот точно лежит в интервале , так как:

Убедились, что лежит в интервале . Найдем теперь значение функции от этого :

Но раз ограничена числом , то и ограничена , то есть

Получили противоречие. Это означает, что никакое число не может являться границей функции на интервале . Значит, эта функция неограничена.

Мы на конкретном примере доказали, что определенность и локальная ограниченность функции в каждой точке интервала не означает ограниченности функции на всем интервале.

Пункт б)

По условию нам известно, что функция определена и локально ограничена в каждой точке отрезка. Для удобства примем, что отрезок имеет вид .

Нам нужно доказать, что ограничена на всем отрезке . Доказывать будем от противного. Пусть она неограничена на этом отрезке, то есть

Если словами, то какую бы границу мы не взяли, всегда найдется такой хитрый из нашего отрезка, что . Воспользуемся этим фактом.

Пусть . Для этой границы существует некоторый , такой, что . Пусть теперь . И для этой границы есть , такой что .

Постоянно продолжая этот процесс, получаем обыкновенную числовую последовательность

Исходя из способа построения, у нее есть следующее свойство:

Нас интересует то, что эта последовательность ограничена, ведь каждый ее член содержится в отрезке .

По задаче 125 мы знаем, что в любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Обозначим такую подпоследовательность за , причем:

Причем важно отметить, что точка . Это следует из прото-задачи П.20.

Почему следует?

выполняется по прото-задаче, при этом за мы принимаем константную последовательность, которая состоит из , а за принимаем нашу последовательность .

выполняется, так как за мы принимаем константую последовательность, которая состоит из .

По условию функция локально ограничена в любой точке отрезка . Это значит, что существует какие-то числа и такие, что

Вспоминаем, что является пределом последовательности , а это значит, что в любой окрестности , в том числе и в рассматриваемой сейчас -окрестности, имеется бесконечное число членов . Получается, что мы можем найти такой номер , который будет больше, чем . Тогда, по свойству построенной выше последовательности:

Получается, что в -окрестности точки (в которой ограничена) мы всегда можем найти такой , что будет превышать любую наперед заданную границу. Значит, в этой окрестности не ограничена. Получили противоречие.

Итак, предположив, что функция неограничена на отрезке мы получили противоречие, показав, что не выполняется критерий локальной ограниченности, который должен выполняться по условию.

Это означает, что все же ограничена на всем отрезке .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Предельный переход в неравенстве
Сохранение знака неравенства при переходе к пределам.