Показать, что функция
не ограничена в любой окрестности точки , однако не является бесконечно большой при .
Показать, что функция
не ограничена в любой окрестности точки , однако не является бесконечно большой при .
Найдите формулы для аргумента косинуса, при которых он равен и . Преобразуйте формулы так, чтобы зависели только от какого-то натруального числа.
Докажите неограниченность в любой окрестности от противного, с использованием формулы, при которой косинус равен .
Докажите, что не имеет предела в точке , приведя две последовательности -ов, стремящиеся к , но имеющие разные пределы значений функции.
Проведем предварительную подготовку. Рассмотрим, при каких выражение равняется и .
Начнем с . По определению косинуса, он равен , когда его аргумент равен , где — целое число. В нашем случае ограничимся только натруальными .
Итак:
Заметим также, что при таких получаем:
Теперь разберемся с . По определению косинуса, он равен , когда его аргумент равен , где — целое число. В этому случае тоже ограничимся только натуральными .
Итак:
Заметим также, что при таких получаем:
Теперь можно переходить к решению задачи.
Нужно доказать, что не ограничена в любой окрестности точки . Докажем от противного.
Пусть существует какая-то особенная -окрестность точки , в которой ограничена каким-то числом , то есть
В начале решения мы получили формулу для таких , чтобы . Более того, при таких значения функции равны .
Это значит, нам нужно найти такое натуральное , чтобы соответствующий одновременно попал в -окрестность и :
Итак, достаточно взять любое натуральное число , такое, что
Через этот мы получаем , который находится в -окрестности точки и .
Получили противоречие:
Это означает, что в этой окрестности не ограничена. Так как такие рассуждения можно провести для любой наперед заданной окрестности, это означает, что не ограничена в любой окрестности .
От нас требуется доказать, что
Мы же просто покажем, что в функция вообще не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного.
Для этого приведем две последовательности: и , которые обе стремятся к :
Рассмотрим теперь, к чему стремится последовательность :
Итак, две последовательности -ов, стремящиеся к , приводят к разным пределам значений функции.
Это означает, что функция в не отвечает определению предела функции в точке по Гейне, а значит в целом не имеет предела в (см. прото-задачу П.33).