Демидович
384

Показать, что функция

не ограничена в любой окрестности точки , однако не является бесконечно большой при .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Найдите формулы для аргумента косинуса, при которых он равен и . Преобразуйте формулы так, чтобы зависели только от какого-то натруального числа.

Докажите неограниченность в любой окрестности от противного, с использованием формулы, при которой косинус равен .

Докажите, что не имеет предела в точке , приведя две последовательности -ов, стремящиеся к , но имеющие разные пределы значений функции.

Решение

Проведем предварительную подготовку. Рассмотрим, при каких выражение равняется и .

Начнем с . По определению косинуса, он равен , когда его аргумент равен , где — целое число. В нашем случае ограничимся только натруальными .

Итак:

Заметим также, что при таких получаем:

Теперь разберемся с . По определению косинуса, он равен , когда его аргумент равен , где — целое число. В этому случае тоже ограничимся только натуральными .

Итак:

Заметим также, что при таких получаем:

Теперь можно переходить к решению задачи.

Неограниченность

Нужно доказать, что не ограничена в любой окрестности точки . Докажем от противного.

Пусть существует какая-то особенная -окрестность точки , в которой ограничена каким-то числом , то есть

В начале решения мы получили формулу для таких , чтобы . Более того, при таких значения функции равны .

Это значит, нам нужно найти такое натуральное , чтобы соответствующий одновременно попал в -окрестность и :

Итак, достаточно взять любое натуральное число , такое, что

Через этот мы получаем , который находится в -окрестности точки и .

Получили противоречие:

Это означает, что в этой окрестности не ограничена. Так как такие рассуждения можно провести для любой наперед заданной окрестности, это означает, что не ограничена в любой окрестности .

Сходимость при

От нас требуется доказать, что

Мы же просто покажем, что в функция вообще не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного.

Для этого приведем две последовательности: и , которые обе стремятся к :

Рассмотрим теперь, к чему стремится последовательность :

Итак, две последовательности -ов, стремящиеся к , приводят к разным пределам значений функции.

Это означает, что функция в не отвечает определению предела функции в точке по Гейне, а значит в целом не имеет предела в (см. прото-задачу П.33).

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Предел функции в точке
Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне. Доказательство эквивалентности этих определений.