Проведем предварительную подготовку. Рассмотрим, при каких $x$ выражение $\cos \frac{1}{x}$ равняется $1$ и $0$.

Начнем с $1$. По определению косинуса, он равен $1$, когда его аргумент равен $0+2\pi k$, где $k$ — целое число. В нашем случае ограничимся только натруальными $k$.

$$\cos \frac{1}{x}=1\iff \frac{1}{x}=2\pi k$$

Итак:

$$\cos \frac{1}{x}=1\iff x=\frac{1}{2\pi k}(k\in \mathbb{N})$$

Заметим также, что при таких $x$ получаем:

$$f(x)=2\pi k$$

Теперь разберемся с $0$. По определению косинуса, он равен $0$, когда его аргумент равен $\frac{\pi }{2}+\pi k$, где $k$ — целое число. В этому случае тоже ограничимся только натуральными $k$.

$$\cos \frac{1}{x}=0\iff \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}+\pi k=\frac{\pi +2\pi k}{2}=\frac{\pi (2k+1)}{2}$$

Итак:

$$\cos \frac{1}{x}=0\iff x=\frac{2}{\pi (2k+1)}(k\in \mathbb{N})$$

Заметим также, что при таких $x$ получаем:

$$f(x)=0$$

Теперь можно переходить к решению задачи.

Неограниченность $f(x)$

Нужно доказать, что $f(x)$ не ограничена в любой окрестности точки $x=0$. Докажем от противного.

Пусть существует какая-то особенная $\delta$-окрестность точки $0$, в которой $f(x)$ ограничена каким-то числом $M>0$, то есть

$$\forall x\in (-\delta ,\delta ):|f(x)|\le M$$

В начале решения мы получили формулу для таких $x$, чтобы $\cos \frac{1}{x}=1$. Более того, при таких $x$ значения функции равны $2\pi k$.

Это значит, нам нужно найти такое натуральное $k$, чтобы соответствующий $x$ одновременно попал в $\delta$-окрестность $0$ и $f(x)>M$:

$$\begin{array}{rlr}0<x<\delta & & f(x)>M\\ 0<\frac{1}{2\pi k}<\delta & & 2\pi k>M\\ k>\frac{1}{2\pi \delta }& & k>\frac{M}{2\pi }\end{array}$$

Итак, достаточно взять любое натуральное число $k$, такое, что

$$k>\max \left(\frac{1}{2\pi \delta },\frac{M}{2\pi }\right)$$

Через этот $k$ мы получаем $x_k$, который находится в $\delta$-окрестности точки $0$ и $f(x_k)>M$.

Получили противоречие:

$$f(x_k)\le M\text{ и }f(x_k)>M$$

Это означает, что в этой окрестности $f(x)$ не ограничена. Так как такие рассуждения можно провести для любой наперед заданной окрестности, это означает, что $f(x)$ не ограничена в любой окрестности $0$.

$■$

Сходимость при $x\to 0$

От нас требуется доказать, что

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)\ne +\infty$$

Мы же просто покажем, что в $0$ функция $f(x)$ вообще не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного.

Для этого приведем две последовательности: $\left\{x_n\right\}$ и $\left\{x_n^{\prime }\right\}$, которые обе стремятся к $0$:

$$\left\{x_n\right\}=\frac{1}{2\pi n}\left\{x_n^{\prime }\right\}=\frac{2}{\pi (2n+1)}$$

Рассмотрим теперь, к чему стремится последовательность $\left\{f(x_n)\right\}$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{f(x_n)\right\}=\underset{n\to \infty }{\lim }2\pi n\cdot \underset{=1}{\underbrace{\cos (2\pi n)}}=2\pi \underset{n\to \infty }{\lim }n=+\infty$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{f(x_n^{\prime })\right\}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\pi (2n+1)}{2}\underset{=0}{\underbrace{\cos \frac{\pi (2n+1)}{2}}}=\underset{n\to \infty }{\lim }0=0$$

Итак, две последовательности $x$-ов, стремящиеся к $0$, приводят к разным пределам значений функции.

Это означает, что функция $f(x)$ в $0$ не отвечает определению предела функции в точке по Гейне, а значит в целом не имеет предела в $0$ (см. прото-задачу П.33).

$■$