Демидович
386

Показать, что функция

в области имеет нижнюю грань и верхнюю грань .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Нижняя грань

Покажите, что какое-бы число больше в качестве нижней грани мы не взяли, всегда придем к противоречию.

Верхняя грань

Покажите, что .

Найдите последовательность значений функции, которая стремится к .

Это по определению будет означать, что — точная верхняя грань .

Решение

Нижняя грань

Очевидно, что является нижней границей, ведь при положительных функция всегда будет больше .

Докажем теперь, что является наибольшей нижней границей. При имеем , то есть получается, что нижняя граница включена в множество значений функции в рассматриваемом по условию полуинтервале.

Предположим, что не является наибольшей нижней границей, то есть существует еще какая-то нижняя граница , то есть

Но при имеем . Получили противоречие. Значит, не существует никакой нижней границы, которая была бы больше . Значит, — точняя нижняя грань функции .

Верхняя грань

Проверим, является ли верхней границей :

Теперь будем доказывать, что является точной верхней гранью. Для того рассмотрим следующую последовательность из -ов:

Получаем следующую последовательность значений:

Найдем, к чему стремится эта последовательность. Это элементарный предел (см. прото-задачу П.10):

По определению это означает, что какое-бы число мы не взяли, всегда найдется бесконечно много значений функции, которые лежат в интервале . Это значит, что не существует верхней границы, которая была бы меньше . То есть, — наименьшая верхняя грань функции .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.