Демидович
393

Определить верхнюю и нижнюю грани функций:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Рассмотрите значения на отрезке . Попробуйте "нащупать" верхнюю грань. Затем докажите, что найденное число действительно является верхней гранью.

Для доказательства воспользуйтесь основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла.

Процесс рассуждений и доказательства для нижней грани аналогичный.

Решение

Максимальное значение стоит искать только на отрезке , потому что только на нем и синус и косинус имеют положительные значения, то есть будут давать наибольший результат при сложении.

Замечаем, что на рассматриваемом отрезке при увеличении угла растет синус, но уменьшается косинус. Логично рассмотреть точку посередине при , ведь на ней и синус и косинус имеют достаточно большие значения.

Но это все домыслы. Теперь надо доказать, что действительно является верхней границей . Пусть это не так и существует какой-то особенный , при котором:

Слева и справа имеем положительные числа, поэтому смело возводим обе части неравенства в квадрат:

По основному тригонометрическому тождеству , поэтому:

Переносим единицу налево и пользуемся формулой двойного угла:

Получили противоречие, ведь не существует такого угла, синус которого был бы больше , ведь синус и определяется как отношение катета к гипотенузе, а катет всегда меньше гипотенузы.

Мы доказали, что является верхней границей . Но это же и точная верхняя грань, ведь какую более маленькую верхнюю границу не возьми, всегда будет больше нее.

Итак — точная верхняя грань .

Аналогичным образом можно показать, что — точная нижняя грань , только рассуждения нужно будет проводить для отрезка .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!