Максимальное значение стоит искать только на отрезке $[0,\frac{\pi }{2}]$, потому что только на нем и синус и косинус имеют положительные значения, то есть будут давать наибольший результат при сложении.

Замечаем, что на рассматриваемом отрезке при увеличении угла $x$ растет синус, но уменьшается косинус. Логично рассмотреть точку посередине при $x=\frac{\pi }{4}$, ведь на ней и синус и косинус имеют достаточно большие значения.

$$\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}$$

Но это все домыслы. Теперь надо доказать, что $\sqrt{2}$ действительно является верхней границей $f(x)$. Пусть это не так и существует какой-то особенный $x^{\prime }$, при котором:

$$\begin{gathered} f(x^{\prime })>\sqrt{2} \\ \sin x^{\prime }+\cos x^{\prime }>\sqrt{2} \end{gathered}$$

Слева и справа имеем положительные числа, поэтому смело возводим обе части неравенства в квадрат:

$${\sin }^2{x}^{\prime }+2\sin x^{\prime }\cos x^{\prime }+{\cos }^2{x}^{\prime }>2$$

По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^2+{\cos }^2=1$, поэтому:

$$1+2\sin x^{\prime }\cos x^{\prime }>2$$

Переносим единицу налево и пользуемся формулой двойного угла:

$$\sin 2x^{\prime }>1$$

Получили противоречие, ведь не существует такого угла, синус которого был бы больше $1$, ведь синус и определяется как отношение катета к гипотенузе, а катет всегда меньше гипотенузы.

Мы доказали, что $\sqrt{2}$ является верхней границей $f(x)$. Но это же и точная верхняя грань, ведь какую более маленькую верхнюю границу не возьми, $f(\frac{\pi }{4})$ всегда будет больше нее.

Итак $\sqrt{2}$ — точная верхняя грань $f(x)$.

Аналогичным образом можно показать, что $-\sqrt{2}$ — точная нижняя грань $f(x)$, только рассуждения нужно будет проводить для отрезка $[\pi ,\frac{3\pi }{2}]$.