Выполненное измерение величины $x$ с погрешностью ${\Delta }_x$ будет колебаться в пределах:

$$x-{\Delta }_x\le x\le x+{\Delta }_x$$

Выполненное измерение величины $y$ с погрешностью ${\Delta }_y$ будет колебаться в пределах:

$$y-{\Delta }_y\le y\le y+{\Delta }_y$$

Перемножим эти неравенства:

$$xy-(x{\Delta }_y+y{\Delta }_x-{\Delta }_x{\Delta }_y)\le xy\le xy+x{\Delta }_y+y{\Delta }_x+{\Delta }_x{\Delta }_y$$

В неравенстве выше видем две возможные оценки для абсолютной погрешности ${\Delta }_{xy}$:

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_{xy}& \le (x{\Delta }_y+y{\Delta }_x-{\Delta }_x{\Delta }_y)\\ {\Delta }_{xy}& \le x{\Delta }_y+y{\Delta }_x+{\Delta }_x{\Delta }_y\end{array}$$

Вторая оценка, очевидно, покрывает первую (потому что она больше), поэтому ей и будем пользоваться:

$${\Delta }_{xy}\le x{\Delta }_y+y{\Delta }_x+{\Delta }_x{\Delta }_y$$

Делим это неравенство на $xy$:

$$\frac{{\Delta }_{xy}}{xy}\le \frac{{\Delta }_y}{y}+\frac{{\Delta }_x}{x}+\frac{{\Delta }_x{\Delta }_y}{xy}$$

Каждая дробь представляет собой относительную погрешность, так как ее формула:

$${\delta }_a=\frac{{\Delta }_a}{|a|}$$

Поэтому, получаем

$${\delta }_{xy}\le \delta (x)+\delta (y)+\delta (x)\delta (y)$$

$■$