407 | Демидович. Решения

Пункт а)

$x \to a lim f (x) = b - 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists δ = δ (ε) > 0 : (0 < ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow b - ε < f (x) < b)$

Пример:

$x \to 0 lim - ∣ x ∣ = 0 - 0$

Доказательство

Опуская длинное определение, перейдем прямо к сути. Должна выполняться импликация:

$0 < ∣ x ∣ < δ \Rightarrow - ε < - ∣ x ∣ < 0$

Рассмотрим неравенство в конце:

$- ε < - ∣ x ∣ < 0$

Умножим все части неравенства на $- 1$ :

$0 < ∣ x ∣ < ε$

Видим, что за $δ$ можно просто взять $ε$ !

$δ = ε$

Тогда, возвращаясь по цепочке преобразований обратно, получим, что для любого $x$ , который удовлетворяет неравенству $0 < ∣ x ∣ < δ = ε$ , следует, что выполняется неравенство $- ε < - ∣ x ∣ < 0$ . Это по определению означает, что

$x \to 0 lim - ∣ x ∣ = 0 - 0$

$■$

Все остальные примеры ниже доказываются точно таким же элементарным образом.

Пункт б)

$x \to a - 0 lim f (x) = b - 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists δ = δ (ε) > 0 : (a - δ < x < a \Rightarrow b - ε < f (x) < b)$

Пример:

$x \to 0 - 0 lim - ∣ x ∣ = 0 - 0$

Пункт в)

$x \to a + 0 lim f (x) = b - 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists δ = δ (ε) > 0 : (a < x < a + ε \Rightarrow b - ε < f (x) < b)$

Пример:

$x \to 0 + 0 lim - ∣ x ∣ = 0 - 0$

Пункт г)

$x \to a lim f (x) = b + 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists δ = δ (ε) : (0 < ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow b < f (x) < b + ε)$

Пример:

$x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0 + 0$

Пункт д)

$x \to a - 0 lim f (x) = b + 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists δ = δ (ε) > 0 : (a - δ < x < a \Rightarrow b < f (x) < b + ε)$

Пример:

$x \to 0 - 0 lim ∣ x ∣ = 0 + 0$

Пункт е)

$x \to a + 0 lim f (x) = b + 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists δ = δ (ε) > 0 : (a < x < a + δ \Rightarrow b < f (x) < b + ε)$

Пример:

$x \to 0 + 0 lim ∣ x ∣ = 0 + 0$

Пункт ж)

$x \to \infty lim f (x) = b - 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists D = D (ε) > 0 : (∣ x ∣ > D \Rightarrow b - ε < f (x) < b)$

Пример:

$x \to \infty lim - \frac{1}{x ^{2}} = 0 - 0$

Пункт з)

$x \to - \infty lim f (x) = b - 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists D = D (ε) > 0 : (x < - D \Rightarrow b - ε < f (x) < b)$

Пример:

$x \to - \infty lim - \frac{1}{x ^{2}} = 0 - 0$

Пункт и)

$x \to + \infty lim f (x) = b - 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists D = D (ε) > 0 : (x > D \Rightarrow b - ε < f (x) < b)$

Пример:

$x \to + \infty lim - \frac{1}{x ^{2}} = 0 - 0$

Пункт к)

$x \to \infty lim f (x) = b + 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists D = D (ε) > 0 : (∣ x ∣ > D \Rightarrow b < f (x) < b + ε)$

Пример:

$x \to \infty lim \frac{1}{x ^{2}} = 0 + 0$

Пункт л)

$x \to - \infty lim f (x) = b + 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists D = D (ε) > 0 : (x < - D \Rightarrow b < f (x) < b + ε)$

Пример:

$x \to - \infty lim \frac{1}{x ^{2}} = 0 + 0$

Пункт м)

$x \to + \infty lim f (x) = b + 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists D = D (ε) > 0 : (x > D \Rightarrow b < f (x) < b + ε)$

Пример:

$x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{2}} = 0 + 0$