Нужный ход действий указан прямо в условии. Нам нужно для произвольного $\epsilon >0$ подобрать такое натуральное $N$, чтобы для любого $n>N$ выполнялось следующее неравенство:

$$|x_n-1|<\epsilon$$

Заменим $x_n$ на соответствующую формулу для $n$-го члена последовательности:

$$\left|\frac{n}{n+1}-1\right|<\epsilon$$

Разберемся с модулем. Для этого докажем, выражение внутри модуля всегда меньше $0$:

$$\frac{n}{n+1}-1\stackrel{\text{?}}{<}0n\stackrel{\text{?}}{<}n+10<1$$

Раз внутри модуля всегда отрицательное число, раскрываем модуль со знаком минус:

$$-\left(\frac{n}{n+1}-1\right)<\epsilon$$

Домножаем обе части на $-1$:

$$\frac{n}{n+1}-1>-\epsilon$$

Прибавляем по единице с обеих сторон и умножаем обе части на $n+1$:

$$n>(1-\epsilon )(n+1)$$

Умножаем скобки друг на друга в правой части:

$$n>n-n\epsilon +1-\epsilon$$

Вычитаем из обеих частей $n$:

$$0>-n\epsilon +1-\epsilon$$

Изолируем $n$:

$$n>\frac{1-\epsilon }{\epsilon }$$

Все проводимые нами преобразования были эквивалентными. Это означает, что какое бы $\epsilon >0$ мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее $\frac{1-\epsilon }{\epsilon }$ и тогда требуемое по определению предела неравенство будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать $N$ будем по следующей формуле:

$$N(\epsilon )=\lceil \frac{|1-\epsilon |}{\epsilon }\rceil$$

Покажем, что любое натуральное $n>N(\epsilon )$ будет больше $\frac{1-\epsilon }{\epsilon }$.

Если $\epsilon >1$, то дробь $\frac{1-\epsilon }{\epsilon }$ будет отрицательной, а значит нам подойдет любое натуральное число, в том числе и то, которое мы получим по формуле $N(\epsilon )$.

Если $\epsilon =1$, то $N(\epsilon )=0$, а значит любое натуральное $n>N(\epsilon )$ нам подойдет.

Если $\epsilon <1$, то мы получим округление сверху («потолок») числа $\frac{1-\epsilon }{\epsilon }$. По определению «потолка» числа:

$$\frac{|1-\epsilon |}{\epsilon }\le \lceil \frac{|1-\epsilon |}{\epsilon }\rceil$$

Так как в условии у нас $n>N(\epsilon )$, то следующее натуральное число после $N(\epsilon )$ будет $N(\epsilon )+1$:

$$n\ge N(\epsilon )+1>N(\epsilon )=\lceil \frac{|1-\epsilon |}{\epsilon }\rceil \ge \frac{|1-\epsilon |}{\epsilon }\ge \frac{1-\epsilon }{\epsilon }$$

$$n>\frac{1-\epsilon }{\epsilon }$$

Итак, мы показали, что при любых $\epsilon >0$ мы всегда найдем такое $N(\epsilon )$, что для любого $n>N(\epsilon )$ будет выполняться неравенство \eqref{to-prove}.

---

Начнем заполнять таблицу:

$$N(0.1)=\lceil \frac{|1-0.1|}{0.1}\rceil =\lceil \frac{0.9}{0.1}\rceil =9$$

$$N(0.01)=\lceil \frac{|1-0.01|}{0.01}\rceil =\lceil \frac{0.99}{0.01}\rceil =99$$

$$N(0.001)=\lceil \frac{|1-0.001|}{0.001}\rceil =\lceil \frac{0.999}{0.001}\rceil =999$$

$$N(0.0001)=\lceil \frac{|1-0.0001|}{0.0001}\rceil =\lceil \frac{0.9999}{0.0001}\rceil =9999$$

Итоговая таблица:

$$\begin{array}{cccccc}\epsilon & 0.1& 0.01& 0.001& 0.0001& \dots \\ N& 9& 99& 999& 9999& \end{array}$$