Демидович
41

Пусть

Доказать, что

определив для каждого число такое, что

Заполнить следующую таблицу:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Подставить формулу для в неравенство .

Решить полученное неравенство относительно . Полученное неравенство относительно и будет условием выбора натуральных чисел .

Решение

Нужный ход действий указан прямо в условии. Нам нужно для произвольного подобрать такое натуральное , чтобы для любого выполнялось следующее неравенство:

Заменим на соответствующую формулу для -го члена последовательности:

Разберемся с модулем. Для этого докажем, выражение внутри модуля всегда меньше :

Раз внутри модуля всегда отрицательное число, раскрываем модуль со знаком минус:

Домножаем обе части на :

Прибавляем по единице с обеих сторон и умножаем обе части на :

Умножаем скобки друг на друга в правой части:

Вычитаем из обеих частей :

Изолируем :

Все проводимые нами преобразования были эквивалентными. Это означает, что какое бы мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее и тогда требуемое по определению предела неравенство будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать будем по следующей формуле:

Покажем, что любое натуральное будет больше .

Если , то дробь будет отрицательной, а значит нам подойдет любое натуральное число, в том числе и то, которое мы получим по формуле .

Если , то , а значит любое натуральное нам подойдет.

Если , то мы получим округление сверху ("потолок") числа . По определению "потолка" числа:

Так как в условии у нас , то следующее натуральное число после будет :

Итак, мы показали, что при любых мы всегда найдем такое , что для любого будет выполняться неравенство \eqref{to-prove}.


Начнем заполнять таблицу:

Итоговая таблица:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!