Демидович
410

Пусть

где и — многочлены от и

Какие возможные значения имеет выражение

Ответ

Предел

может принимать три разных значения:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Вынесите из многочленов и скобки вида , где — кратность корня в соответствующем многочлене.

Рассмотрите три варианта, соответствующие трем вариантам отношения двух кратностей (равны, больше, меньше).

Воспользуйтесь прото-задачами П.28, П.26, П.30 и П.25.

Решение

По условию . Это означает, что — корень этих многочленов. Обозначим за кратность корня в и за кратность в . Тогда:

Причем многочлены и .

Рассмотрим три возможных варианта:

Вариант

Тогда, по прото-задаче П.28:

Вариант

Раз , то . Значит, мы можем найти предел следующим образом:

Вариант

Раз , то . Тогда , поэтому

Найдем предел функции в знаменателе:

Значит, эта функция по определению является бесконечно малой. Тогда, по прото-задаче П.26

Раз функция имеет конечный ненулевой предел, то по прото-задаче П.30 она имеет окрестность, в которой она не равна .

Все это дает нам возможность воспользоваться операциями с б.м. и б.б. (П.25):

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Операции с бесконечно малыми и большими
Основные арифметические между ограниченной и бесконечно малой (большой) функциями.
Связь бесконечно малых и бесконечно больших
Переход из бесконечно малых последовательностей в бесконечно большие и наоборот.
Элементарные пределы
Пределы функций, к которым сводятся множество задач.
Свойства функций с конечным пределом
Наиболее полезные свойства функций, которые имеют конечный предел при произвольном стремлении аргумента.