По условию $P(a)=Q(a)=0$. Это означает, что $a$ — корень этих многочленов. Обозначим за $n$ кратность корня $a$ в $P(x)$ и за $m$ кратность $a$ в $Q(x)$. Тогда:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{(x-a{)}^n{P}^{\prime }(x)}{(x-a{)}^m{Q}^{\prime }(x)}=(x-a{)}^{n-m}\frac{P^{\prime }(x)}{Q^{\prime }(x)}$$

Причем многочлены $P^{\prime }(a)\ne 0$ и $Q^{\prime }(a)\ne 0$.

Рассмотрим три возможных варианта:

Вариант $n=m$

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=(x-a{)}^0\frac{P^{\prime }(x)}{Q^{\prime }(x)}=\frac{P^{\prime }(x)}{Q^{\prime }(x)}$$

Тогда, по прото-задаче П.28:

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{P(x)}{Q(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{P^{\prime }(x)}{Q^{\prime }(x)}=\frac{P^{\prime }(a)}{Q^{\prime }(a)}$$

Вариант $n>m$

Раз $n>m$, то $n-m>0$. Значит, мы можем найти предел следующим образом:

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }(x-a{)}^{n-m}\frac{P^{\prime }(x)}{Q^{\prime }(x)}=\underset{x\to a}{\lim }(x-a)\underset{x\to a}{\lim }(x-a)\dots \underset{x\to a}{\lim }\frac{P^{\prime }(x)}{Q^{\prime }(x)}= \\ =0\cdot 0\cdot \dots \cdot \frac{P^{\prime }(a)}{Q^{\prime }(a)}=0 \end{gathered}$$

Вариант $n<m$

Раз $n<m$, то $n-m<0$. Тогда $-(n-m)>0$, поэтому

$$(x-a{)}^{n-m}=\frac{1}{(x-a{)}^{-(n-m)}}$$

Найдем предел функции в знаменателе:

$$\underset{x\to a}{\lim }(x-a{)}^{-(n-m)}=\underset{x\to a}{\lim }(x-a)\underset{x\to a}{\lim }(x-a)\dots =0\cdot 0\dots =0$$

Значит, эта функция по определению является бесконечно малой. Тогда, по прото-задаче П.26

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{(x-a{)}^{-(n-m)}}=\infty$$

Раз функция $\frac{P^{\prime }(x)}{Q^{\prime }(x)}$ имеет конечный ненулевой предел, то по прото-задаче П.30 она имеет окрестность, в которой она не равна $0$.

Все это дает нам возможность воспользоваться операциями с б.м. и б.б. (П.25):

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{(x-a{)}^{-(n-m)}}\frac{P^{\prime }(x)}{Q^{\prime }(x)}=\left|\begin{array}{c}\infty \cdot \frac{P^{\prime }(x)}{Q^{\prime }(x)}\\ \infty \end{array}\right|=\infty$$