Пусть
где и — многочлены от и
Какие возможные значения имеет выражение
Пусть
где и — многочлены от и
Какие возможные значения имеет выражение
Предел
может принимать три разных значения:
По условию . Это означает, что — корень этих многочленов. Обозначим за кратность корня в и за кратность в . Тогда:
Причем многочлены и .
Рассмотрим три возможных варианта:
Тогда, по прото-задаче П.28:
Раз , то . Значит, мы можем найти предел следующим образом:
Раз , то . Тогда , поэтому
Найдем предел функции в знаменателе:
Значит, эта функция по определению является бесконечно малой. Тогда, по прото-задаче П.26
Раз функция имеет конечный ненулевой предел, то по прото-задаче П.30 она имеет окрестность, в которой она не равна .
Все это дает нам возможность воспользоваться операциями с б.м. и б.б. (П.25):