Введем новое обозначение:

$$y=x-1$$

Найдем, к чему $y$ стремится при $x\to 1$. Это элементарный предел (П-ссылка):

$$\underset{x\to 1}{\lim }y(x)=\underset{x\to 1}{\lim }x-1=1-1=0$$

Причем $y\ne 0$ в любой проколотой окрестности точки $a$.

И еще кое-что:

$$\begin{gathered} y=x-1 \\ x=y+1 \\ {x}^{n+1}=(y+1{)}^{n+1} \end{gathered}$$

Теперь воспользуемся формулой из теоремы о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1{)}^2}= \\ =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{(y+1{)}^{n+1}-(n+1)(y+1)+n}{y^2} \end{gathered}$$

Поработаем с последними двумя слагаемыми в числителе:

$$\begin{gathered} -(n+1)(y+1)+n=-ny-n-y-1+n= \\ =-(n+1)y-1 \end{gathered}$$

С этим результатом вернемся к пределу:

$$\underset{y\to 0}{\lim }\frac{(y+1{)}^{n+1}-(n+1)y-1}{y^2}$$

Распишем, чему равен числитель, используя формулу бинома Ньютона (5):

$$\begin{gathered} y^{n+1}+(n+1)y^n+\dots +\frac{n(n+1)}{2}{y}^2+(n+1)y+1- \\ -(n+1)y-1= \\ =y^{n+1}+(n+1)y^n+\dots +\frac{n(n+1)}{2}{y}^2 \end{gathered}$$

Замечаем, что каждое слагаемое в получившемся выражении можно поделить на $y^2$ (которое имеется в знаменателе). Производим это деление. Теперь осталось лишь найти значение предела:

$$\begin{gathered} \underset{y\to 0}{\lim }\left(y^{n-1}+(n+1)y^{n-2}+\dots +\frac{n(n+1)}{2}\right)= \\ =0+(n+1)\cdot 0+\dots +\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2} \end{gathered}$$