Обозначим последовательность в числителе за $x_n$:

$$1^3+4^3+\dots +(3n-2{)}^3=x_n$$

Последовательность в знаменателе (обозначим за $y_n$), очевидно строго возрастает и бесконечно большая, так как больше бесконечно большой последовательности натуральных чисел.

$$[1+4+7+\dots +(3n-2){]}^2=y_n$$

Значит, мы можем воспользоваться теоремой Штольца из задачи 143:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$$

Найдем, чему равна разность в числителе:

$$\begin{gathered} x_{n+1}-x_n= \\ =1^3+4^3+7^3+\dots +(3n-2{)}^3+(3n+1{)}^3- \\ -1^3-4^3-7^3-\dots -(3n-2{)}^3= \\ =(3n+1{)}^3 \end{gathered}$$

Разность в знаменателе:

$$\begin{gathered} y_{n+1}-y_n= \\ =[1+4+7+\dots +(3n-2)+(3n+1){]}^2- \\ -[1+4+7+\dots +(3n-2){]}^2= \\ =\left[2(1+4+\dots +(3n-2))+(3n+1)\right][3n+1] \end{gathered}$$

Найдем, чему равна сумма

$$\begin{gathered} 1+4+\dots +(3n-2)= \\ =3\cdot 1+3\cdot 2+3\cdot 3+\dots -2-2-2-\dots = \\ =3(1+2+3+\dots +n)-2n=\dots \end{gathered}$$

Воспользуемся формулой суммы $n$ первых натуральных чисел из задачи 1:

$$\dots =\frac{3n(n+1)}{2}-2n$$

Воспользуемся полученной формулой в знаменателе:

$$\begin{gathered} \left[2\cdot \left(\frac{3n(n+1)}{2}-2n\right)+(3n+1)\right][3n+1]= \\ =[3n(n+1)-4n+3n+1][3n+1]= \\ =[3n^2+2n+1][3n+1] \end{gathered}$$

Теперь найдем значения предела, пользуясь элементарными пределами последовательностей из прото-задачи П.10:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(3n+1{)}^3}{(3n^2+2n+1)(3n+1)}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{9n^2+6n+1}{3n^2+2n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2}\cdot \frac{9+\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}}{3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}= \\ =\frac{9+0+0}{3+0+0}=3 \end{gathered}$$