В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов. Затем вынесем за скобки $\sqrt{x-a}$:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x-a}\sqrt{x+a}}= \\ =\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x-a}}\cdot \frac{\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{x-a}}+1}{\sqrt{x+a}}=\frac{\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{x-a}}+1}{\sqrt{x+a}} \end{gathered}$$

В числителе видим дробь со знаменателем $\sqrt{x-a}$. Непорядок. Давайте избавимся от иррациональности в числителе этой дроби:

$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{x-a}}\cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}=\frac{x-a}{\sqrt{x-a}(\sqrt{x}+\sqrt{a})}=\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}$$

Итак, после преобразований из выражения в условии получили такой результат:

$$\frac{\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}+1}{\sqrt{x+a}}$$

Найдем теперь значение предела этого выражения, пользуясь арифметическими свойствами пределов, пределом степенной функции (П.29), а также теоремой о пределе сложной функции (П.27):

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}+1}{\sqrt{x+a}}=\left|\begin{array}{c}y=x-a,g=x+a\\ \underset{x\to a}{\lim }y(x)=0,\underset{x\to a}{\lim }g(x)=2a\\ y\to 0,g\to 2a\end{array}\right|= \\ =\frac{\frac{\underset{y\to 0}{\lim }\sqrt{y}}{\underset{x\to a}{\lim }\sqrt{x}+\sqrt{a}}+1}{\underset{g\to 2a}{\lim }\sqrt{g}}=\frac{\frac{0}{2\sqrt{a}}+1}{\sqrt{2a}}=\frac{1}{\sqrt{2a}} \end{gathered}$$