Докажем два важных свойства данной нам в условии последовательности.

1. Любой элемент с четным номером равен этому номеру
2. Любой элемент с нечетным номером не больше $1$

1) Раз $n$ — четное число, то $(-1{)}^n=1$.

$$x_n=n^{(-1{)}^n}=n$$

2) Раз $n$ — нечетное число, то $(-1{)}^n=(-1)$

$$x_n=n^{(-1{)}^n}=n^{-1}=\frac{1}{n}\le 1$$

Доказательство неограниченности

По определению последовательность $x_n$ не ограничена, если

$$\forall E>0\exists t\in \mathbb{N}:|x_t|>E$$

То есть какую бы большую границу $E$ мы не выбрали, всегда найдется какой-нибудь элемент последовательности с номером $t$, который будет больше $E$. Важно заметить, что нужно найти хотя бы один такой элемент последовательности.

Рассмотрим округление сверху ("потолок") числа $E$: $\lceil E\rceil$. Тогда $t$ надо находить следующим образом:

$$t=\{\begin{array}{l}\lceil E\rceil +2,\text{если }\lceil E\rceil \text{ четное}\\ \lceil E\rceil +1,\text{если }\lceil E\rceil \text{ нечетное}\end{array}$$

Если $\lceil E\rceil$ — четное, то $t=\lceil E\rceil +2$ тоже четное. В начале мы показали, что $x_t=t$, если $t$ четное. Значит:

$$\begin{gathered} x_t=t=\lceil E\rceil +2>\lceil E\rceil \ge E \\ |x_t|>E \end{gathered}$$

Если $\lceil E\rceil$ — нечетное, то $t=\lceil E\rceil +1$ четное. В начале мы показали, что $x_t=t$, если $t$ четное. Значит:

$$\begin{gathered} x_t=t=\lceil E\rceil +1>\lceil E\rceil \ge E \\ |x_t|>E \end{gathered}$$

Итак, мы всегда найдем такое $x_t$, которое будет больше любого $E>0$, а значит последовательность $x_n$ не ограничена.

$■$

Доказательство, что не бесконечно большая

По определению последовательность $x_n$ бесконечно большая, если

$$\forall E>0\exists N=N(E)\forall t>N:|x_t|>E$$

Возьмем отрицание. То есть, последовательность $x_n$ не бесконечно большая, если

$$\exists E>0\forall N\exists t>N:|x_t|\le E$$

То есть существует такая граница $E$, что какое бы $N$ мы не взяли, всегда найдется хотя бы один элемент, который будет меньше $E$. Другими словами, есть такая граница $E$, что в любом месте последовательности (даже бесконечно далеко) найдется элемент, который меньше $E$.

Пусть $E=1$. Теперь нам дается произвольное $N$. $t$ выбираем следующим образом:

$$t=\{\begin{array}{l}N+1,\text{если }N\text{ четное}\\ N+2,\text{если }N\text{ нечетное}\end{array}$$

В обоих случаях $t$ оказывается нечетным, а любой элемент с нечетным номером не больше $1$, как мы показали в начале.

Итак, после любого $N$ всегда найдется элемент $x_t$, который по модулю не больше $E=1$.

$■$