Показать, что
не ограничена, однако не является бесконечно большой при .
Показать, что
не ограничена, однако не является бесконечно большой при .
Рассмотрите, чему равна последовательность при четных и нечетных .
Неограниченность докажите по определению, то есть что для любой наперед заданной верхней границы найдется элемент , который будет больше (используйте четные ).
Затем покажите, что для любого заданного наперед элемента всегда найдется такое , которое будет меньше (используйте нечетные ).
Докажем два важных свойства данной нам в условии последовательности.
1) Раз — четное число, то .
2) Раз — нечетное число, то
По определению последовательность не ограничена, если
То есть какую бы большую границу мы не выбрали, всегда найдется какой-нибудь элемент последовательности с номером , который будет больше . Важно заметить, что нужно найти хотя бы один такой элемент последовательности.
Рассмотрим округление сверху ("потолок") числа : . Тогда надо находить следующим образом:
Если — четное, то тоже четное. В начале мы показали, что , если четное. Значит:
Если — нечетное, то четное. В начале мы показали, что , если четное. Значит:
Итак, мы всегда найдем такое , которое будет больше любого , а значит последовательность не ограничена.
По определению последовательность бесконечно большая, если
Возьмем отрицание. То есть, последовательность не бесконечно большая, если
То есть существует такая граница , что какое бы мы не взяли, всегда найдется хотя бы один элемент, который будет меньше . Другими словами, есть такая граница , что в любом месте последовательности (даже бесконечно далеко) найдется элемент, который меньше .
Пусть . Теперь нам дается произвольное . выбираем следующим образом:
В обоих случаях оказывается нечетным, а любой элемент с нечетным номером не больше , как мы показали в начале.
Итак, после любого всегда найдется элемент , который по модулю не больше .