Задача 44 — Демидович

Неограниченность докажите по определению, то есть что для любой наперед заданной верхней границы $E$ найдется элемент $x_{n}$ , который будет больше (используйте четные $n$ ).

Затем покажите, что для любого заданного наперед элемента $N$ всегда найдется такое $x_{n}$ , которое будет меньше $E$ (используйте нечетные $n$ ).

Решение

Докажем два важных свойства данной нам в условии последовательности.

Любой элемент с четным номером равен этому номеру
Любой элемент с нечетным номером не больше $1$

1) Раз $n$ — четное число, то $(- 1)^{n} = 1$ .

$x_{n} = n^{(- 1)^{n}} = n$

2) Раз $n$ — нечетное число, то $(- 1)^{n} = (- 1)$

$x_{n} = n^{(- 1)^{n}} = n^{- 1} = \frac{1}{n} \leq 1$

Доказательство неограниченности

По определению последовательность $x_{n}$ не ограничена, если

$\forall E > 0 \exists t \in N : ∣ x_{t} ∣ > E$

То есть какую бы большую границу $E$ мы не выбрали, всегда найдется какой-нибудь элемент последовательности с номером $t$ , который будет больше $E$ . Важно заметить, что нужно найти хотя бы один такой элемент последовательности.

Рассмотрим округление сверху («потолок») числа $E$ : $⌈ E ⌉$ . Тогда $t$ надо находить следующим образом:

$t = ⎩ ⎨ ⎧ ⌈ E ⌉ + 2, если ⌈ E ⌉ четное ⌈ E ⌉ + 1, если ⌈ E ⌉ нечетное$

Если $⌈ E ⌉$ — четное, то $t = ⌈ E ⌉ + 2$ тоже четное. В начале мы показали, что $x_{t} = t$ , если $t$ четное. Значит:

$x_{t} = t = ⌈ E ⌉ + 2 > ⌈ E ⌉ \geq E ∣ x_{t} ∣ > E$

Если $⌈ E ⌉$ — нечетное, то $t = ⌈ E ⌉ + 1$ четное. В начале мы показали, что $x_{t} = t$ , если $t$ четное. Значит:

$x_{t} = t = ⌈ E ⌉ + 1 > ⌈ E ⌉ \geq E ∣ x_{t} ∣ > E$

Итак, мы всегда найдем такое $x_{t}$ , которое будет больше любого $E > 0$ , а значит последовательность $x_{n}$ не ограничена.

$■$

Доказательство, что не бесконечно большая

По определению последовательность $x_{n}$ бесконечно большая, если

$\forall E > 0 \exists N = N (E) \forall t > N : ∣ x_{t} ∣ > E$

Возьмем отрицание. То есть, последовательность $x_{n}$ не бесконечно большая, если

$\exists E > 0 \forall N \exists t > N : ∣ x_{t} ∣ \leq E$

То есть существует такая граница $E$ , что какое бы $N$ мы не взяли, всегда найдется хотя бы один элемент, который будет меньше $E$ . Другими словами, есть такая граница $E$ , что в любом месте последовательности (даже бесконечно далеко) найдется элемент, который меньше $E$ .

Пусть $E = 1$ . Теперь нам дается произвольное $N$ . $t$ выбираем следующим образом:

$t = ⎩ ⎨ ⎧ N + 1, если N четное N + 2, если N нечетное$

В обоих случаях $t$ оказывается нечетным, а любой элемент с нечетным номером не больше $1$ , как мы показали в начале.

Итак, после любого $N$ всегда найдется элемент $x_{t}$ , который по модулю не больше $E = 1$ .

$■$

43 45