Демидович
44

Показать, что

не ограничена, однако не является бесконечно большой при .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Рассмотрите, чему равна последовательность при четных и нечетных .

Неограниченность докажите по определению, то есть что для любой наперед заданной верхней границы найдется элемент , который будет больше (используйте четные ).

Затем покажите, что для любого заданного наперед элемента всегда найдется такое , которое будет меньше (используйте нечетные ).

Решение

Докажем два важных свойства данной нам в условии последовательности.

  1. Любой элемент с четным номером равен этому номеру
  2. Любой элемент с нечетным номером не больше

1) Раз — четное число, то .

2) Раз — нечетное число, то

Доказательство неограниченности

По определению последовательность не ограничена, если

То есть какую бы большую границу мы не выбрали, всегда найдется какой-нибудь элемент последовательности с номером , который будет больше . Важно заметить, что нужно найти хотя бы один такой элемент последовательности.

Рассмотрим округление сверху ("потолок") числа : . Тогда надо находить следующим образом:

Если — четное, то тоже четное. В начале мы показали, что , если четное. Значит:

Если — нечетное, то четное. В начале мы показали, что , если четное. Значит:

Итак, мы всегда найдем такое , которое будет больше любого , а значит последовательность не ограничена.

Доказательство, что не бесконечно большая

По определению последовательность бесконечно большая, если

Возьмем отрицание. То есть, последовательность не бесконечно большая, если

То есть существует такая граница , что какое бы мы не взяли, всегда найдется хотя бы один элемент, который будет меньше . Другими словами, есть такая граница , что в любом месте последовательности (даже бесконечно далеко) найдется элемент, который меньше .

Пусть . Теперь нам дается произвольное . выбираем следующим образом:

В обоих случаях оказывается нечетным, а любой элемент с нечетным номером не больше , как мы показали в начале.

Итак, после любого всегда найдется элемент , который по модулю не больше .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!