Натуральные $m$ и $n$

Пусть $m,n\in \mathbb{N}$. Приведем корни в числителе к одному показателю:

$$\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-\sqrt[n]{1+\beta x}}{x}=\frac{\sqrt[mn]{(1+\alpha x{)}^n}-\sqrt[mn]{(1+\beta x{)}^m}}{x}$$

Введем теперь следующие обозначения:

$$a=\sqrt[mn]{(1+\alpha x{)}^n}b=\sqrt[mn]{(1+\beta x{)}^m}$$

Вместе с введенными обозначениями избавимся от иррациональности в числителе, используя равенство прото-задачи П.4:

$$\begin{gathered} \frac{a-b}{x}= \\ =\frac{a-b}{x}\cdot \frac{a^{mn-1}+a^{mn-2}b+\dots +a{b}^{mn-2}+b^{mn-1}}{a^{mn-1}+a^{mn-2}b+\dots +a{b}^{mn-2}+b^{mn-1}}= \\ =\frac{a^{mn}-b^{mn}}{x}\cdot \frac{1}{a^{mn-1}+a^{mn-2}b+\dots +a{b}^{mn-2}+b^{mn-1}} \end{gathered}$$

Сразу найдем предел правой дроби, чтобы не тянуть ее за нами в дальнейших рассуждениях. При нахождении предела будем пользоваться ее арифметическими свойствами, пределом многочлена (П.28), пределом степенной функции (П.29), а также теоремой о пределе сложной функции (П.27):

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }a(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt[mn]{(1+\alpha x{)}^n}=1\\ \underset{x\to 0}{\lim }b(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt[mn]{(1+\beta x{)}^m}=1\end{array}\right| \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{a^{mn-1}+a^{mn-2}b+\dots +a{b}^{mn-2}+b^{mn-1}}= \\ =\frac{1}{1+1+\dots +1+1}=\frac{1}{mn} \end{gathered}$$

Запомним это значение, а пока продолжим рассуждения:

$$\frac{a^{mn}-b^{mn}}{x}=\frac{(\alpha x+1{)}^n-(\beta x+1{)}^m}{x}=\dots$$

Пользуемся формулой бинома Ньютона (5):

$$\begin{gathered} \dots =\frac{{\alpha }^n{x}^n+\dots +n\alpha x+1-{\beta }^m{x}^m-\dots -m\beta x-1}{x}= \\ ={\alpha }^n{x}^{n-1}+\dots +n\alpha -{\beta }^m{x}^{m-1}-\dots -m\beta \end{gathered}$$

Находим теперь предел:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }{\alpha }^n{x}^{n-1}+\dots +n\alpha -{\beta }^m{x}^{m-1}-\dots -m\beta = \\ =0+0+\dots +n\alpha -0-0\dots -m\beta = \\ =n\alpha -m\beta \end{gathered}$$

Не забываем, что полученный результат надо умножить на $\frac{1}{mn}$:

$$\frac{n\alpha -m\beta }{mn}=\frac{\alpha }{m}-\frac{\beta }{n}$$

Итак, если $n,m\in \mathbb{N}$, то:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-\sqrt[n]{1+\beta x}}{x}=\frac{\alpha }{m}-\frac{\beta }{n}$$

Отрицательные $m$ и $n$

Пусть $m$ и $n$ — отрицательные числа. Тогда введем новые обозначения:

$$m^{\prime }=-m{n}^{\prime }=-n$$

При этом, $m^{\prime },n^{\prime }\in \mathbb{N}$. Найдем теперь значение предела:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+\alpha x{)}^{-\frac{1}{m^{\prime }}}-(1+\beta x{)}^{-\frac{1}{n^{\prime }}}}{x}= \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{(1+\alpha x{)}^{\frac{1}{m^{\prime }}}}-\frac{1}{(1+\beta x{)}^{\frac{1}{n^{\prime }}}}}{x}= \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[n^{\prime }]{1+\beta x}-\sqrt[m^{\prime }]{1+\alpha x}}{x}\cdot \frac{1}{\underset{\to 1}{\underbrace{(1+\alpha x{)}^{\frac{1}{m^{\prime }}}(1+\beta x{)}^{\frac{1}{n^{\prime }}}}}}= \\ =\frac{\beta }{n^{\prime }}-\frac{\alpha }{m^{\prime }}=\frac{\alpha }{m}-\frac{\beta }{n} \end{gathered}$$

Итак, в случае отрицательных $m$ и $n$ выполняется равенство:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-\sqrt[n]{1+\beta x}}{x}=\frac{\alpha }{m}-\frac{\beta }{n}$$

Разные знаки у $m$ и $n$

Пусть $m$ — отрицательное число, а $n$ — натуральное. Введем обозначение: $m^{\prime }=-m$, откуда $m=-m^{\prime }$.

Найдем теперь значение предела:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+\alpha x{)}^{-\frac{1}{m^{\prime }}}-\sqrt[n]{1+\beta x}}{x}= \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{\sqrt[m^{\prime }]{1+\alpha x}}-\sqrt[n]{1+\beta x}}{x}= \\ =\underset{x\to 0}{\lim }-\frac{\sqrt[m^{\prime }]{1+\alpha x}\sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}\cdot \frac{1}{\underset{\to 1}{\underbrace{\sqrt[m^{\prime }]{1+\alpha x}}}}=\dots \end{gathered}$$

Воспользуемся полученным в следующей задаче 453 результатом:

$$\dots =-\left(\frac{\alpha }{m^{\prime }}+\frac{\beta }{n}\right)=\frac{\alpha }{m}-\frac{\beta }{n}$$

Итак, даже тогда, когда $m$ и $n$ имеют разные знаки, выполняется равенство:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-\sqrt[n]{1+\beta x}}{x}=\frac{\alpha }{m}-\frac{\beta }{n}$$