Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 452
Нормальная
Найти пределы:

Ответ

Зависимость
Зависимость
Указание

Воспользуйтесь прото-задачей П-ссылка.

Эта и следующая задача 453 связаны.

Решение

Натуральные и

Пусть . Приведем корни в числителе к одному показателю:

Введем теперь следующие обозначения:

Вместе с введенными обозначениями избавимся от иррациональности в числителе, используя равенство прото-задачи П-ссылка:

Сразу найдем предел правой дроби, чтобы не тянуть ее за нами в дальнейших рассуждениях. При нахождении предела будем пользоваться ее арифметическими свойствами, пределом многочлена (П-ссылка), пределом степенной функции (П-ссылка), а также теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка):

Запомним это значение, а пока продолжим рассуждения:

Пользуемся формулой бинома Ньютона (5):

Находим теперь предел:

Не забываем, что полученный результат надо умножить на :

Итак, если , то:

Отрицательные и

Пусть и — отрицательные числа. Тогда введем новые обозначения:

При этом, . Найдем теперь значение предела:

Итак, в случае отрицательных и выполняется равенство:

Разные знаки у и

Пусть — отрицательное число, а — натуральное. Введем обозначение: , откуда .

Найдем теперь значение предела:

Воспользуемся полученным в следующей задаче 453 результатом:

Итак, даже тогда, когда и имеют разные знаки, выполняется равенство: