Демидович
452

Найти пределы:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь прото-задачей П.4.

Эта и следующая задача 453 связаны.

Решение

Натуральные и

Пусть . Приведем корни в числителе к одному показателю:

Введем теперь следующие обозначения:

Вместе с введенными обозначениями избавимся от иррациональности в числителе, используя равенство прото-задачи П.4:

Сразу найдем предел правой дроби, чтобы не тянуть ее за нами в дальнейших рассуждениях. При нахождении предела будем пользоваться ее арифметическими свойствами, пределом многочлена (П.28), пределом степенной функции (П.29), а также теоремой о пределе сложной функции (П.27):

Запомним это значение, а пока продолжим рассуждения:

Пользуемся формулой бинома Ньютона (5):

Находим теперь предел:

Не забываем, что полученный результат надо умножить на :

Итак, если , то:

Отрицательные и

Пусть и — отрицательные числа. Тогда введем новые обозначения:

При этом, . Найдем теперь значение предела:

Итак, в случае отрицательных и выполняется равенство:

Разные знаки у и

Пусть — отрицательное число, а — натуральное. Введем обозначение: , откуда .

Найдем теперь значение предела:

Воспользуемся полученным в следующей задаче 453 результатом:

Итак, даже тогда, когда и имеют разные знаки, выполняется равенство:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Разность степеней через произведение
Возможность записать разность двух чисел с одинаковыми показателями степени в виде произведения двух удобных скобок.
Предел сложной функции
Удобная формула для вычисления пределов с помощью замены переменной.
Элементарные пределы
Пределы функций, к которым сводятся множество задач.
Предел степенной функции
Доказательство значений предела степенной функции при различных стремлениях аргумента.