Найти пределы:
Натуральные и
Пусть . Приведем корни в числителе к одному показателю:
Введем теперь следующие обозначения:
Вместе с введенными обозначениями избавимся от иррациональности в числителе, используя равенство прото-задачи П.4:
Сразу найдем предел правой дроби, чтобы не тянуть ее за нами в дальнейших рассуждениях. При нахождении предела будем пользоваться ее арифметическими свойствами, пределом многочлена (П.28), пределом степенной функции (П.29), а также теоремой о пределе сложной функции (П.27):
Запомним это значение, а пока продолжим рассуждения:
Пользуемся формулой бинома Ньютона (5):
Находим теперь предел:
Не забываем, что полученный результат надо умножить на :
Итак, если , то:
Отрицательные и
Пусть и — отрицательные числа. Тогда введем новые обозначения:
При этом, . Найдем теперь значение предела:
Итак, в случае отрицательных и выполняется равенство:
Разные знаки у и
Пусть — отрицательное число, а — натуральное. Введем обозначение: , откуда .
Найдем теперь значение предела:
Воспользуемся полученным в следующей задаче 453 результатом:
Итак, даже тогда, когда и имеют разные знаки, выполняется равенство: