Найти пределы:
Натуральные и
Введем следующие обозначения:
Вместе с введенными обозначениями избавимся от иррациональности в числителе, используя равенство прото-задачи П.4:
Сразу найдем предел правой дроби, чтобы не тянуть ее за нами в дальнейших рассуждениях. При нахождении предела будем пользоваться ее арифметическими свойствами, пределом многочлена (П.28), пределом степенной функции (П.29), а также теоремой о пределе сложной функции (П.27):
Запомним это значение, а пока продолжим рассуждения (пользуемся формулой бинома Ньютона из 5):
Находим теперь предел:
Не забываем, что полученный результат надо умножить на :
Итак, если , то:
Отрицательные и
Значение предела для отрицательных и точно такое же. Доказательство производится аналогично доказательству для отрицательных и в предыдущей задаче 452.
Разные знаки у и
Значение предела для разнознаковых и точно такое же. Доказательство производится аналогично доказательству для разнознаковых и в предыдущей задаче 452. Там нам потребовалось воспользоваться этой задачей. В этом случае нам пришлось бы обратиться к предыдущей задаче.