Натуральные $m$ и $n$

Введем следующие обозначения:

$$a=\sqrt[m]{1+\alpha x}b=\sqrt[n]{1+\beta x}$$

Вместе с введенными обозначениями избавимся от иррациональности в числителе, используя равенство прото-задачи П.4:

$$\begin{gathered} \frac{ab-1}{x}= \\ =\frac{ab-1}{x}\cdot \frac{(ab{)}^{mn-1}+(ab{)}^{mn-2}+\dots +(ab)+1}{(ab{)}^{mn-1}+(ab{)}^{mn-2}+\dots +(ab)+1}= \\ =\frac{(ab{)}^{mn}-1}{x}\cdot \frac{1}{(ab{)}^{mn-1}+(ab{)}^{mn-2}+\dots +(ab)+1} \end{gathered}$$

Сразу найдем предел правой дроби, чтобы не тянуть ее за нами в дальнейших рассуждениях. При нахождении предела будем пользоваться ее арифметическими свойствами, пределом многочлена (П.28), пределом степенной функции (П.29), а также теоремой о пределе сложной функции (П.27):

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }a(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt[m]{1+\alpha x}=1\\ \underset{x\to 0}{\lim }b(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt[n]{1+\beta x}=1\end{array}\right| \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{(ab{)}^{mn-1}+(ab{)}^{mn-2}+\dots +(ab)+1}= \\ =\frac{1}{1+1+\dots +1+1}=\frac{1}{mn} \end{gathered}$$

Запомним это значение, а пока продолжим рассуждения (пользуемся формулой бинома Ньютона из 5):

$$\begin{gathered} \frac{(ab{)}^{mn}-1}{x}=\frac{(1+\alpha x{)}^n(1+\beta x{)}^m-1}{x}= \\ =\frac{({\alpha }^n{x}^n+\dots +n\alpha x+1)({\beta }^m{x}^m+\dots +m\beta x+1)-1}{x}= \\ =a^n{x}^{n-1}+\dots +n\alpha +{\beta }^m{x}^{m-1}+\dots +m\beta \end{gathered}$$

Находим теперь предел:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }{a}^n{x}^{n-1}+\dots +n\alpha +{\beta }^m{x}^{m-1}+\dots +m\beta = \\ =0+0+\dots +n\alpha +0+0+\dots +m\beta =n\alpha +m\beta \end{gathered}$$

Не забываем, что полученный результат надо умножить на $\frac{1}{mn}$:

$$\frac{n\alpha +m\beta }{mn}=\frac{\alpha }{m}+\frac{\beta }{n}$$

Итак, если $n,m\in \mathbb{N}$, то:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}\sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}=\frac{\alpha }{m}+\frac{\beta }{n}$$

Отрицательные $m$ и $n$

Значение предела для отрицательных $m$ и $n$ точно такое же. Доказательство производится аналогично доказательству для отрицательных $m$ и $n$ в предыдущей задаче 452.

Разные знаки у $m$ и $n$

Значение предела для разнознаковых $m$ и $n$ точно такое же. Доказательство производится аналогично доказательству для разнознаковых $m$ и $n$ в предыдущей задаче 452. Там нам потребовалось воспользоваться этой задачей. В этом случае нам пришлось бы обратиться к предыдущей задаче.