469 | Демидович. Решения

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\frac{x ^{2} + 1}{x + 1} - a x - b = \frac{x ^{2} + 1 - a x ^{2} - a x - b x - b}{x + 1} = = \frac{x ^{2} ( 1 - a ) - x ( a + b ) + ( 1 - b )}{x + 1}$

Замечаем, что если $a \neq = 1$ , то вне зависимости от $b$ выражение стремится к $\infty$ .

Доказательство

Пусть $a \neq = 1$ . Тогда выносим из числителя $x^{2}$ , а из знаменателя $x$ :

$\frac{x ^{2}}{x} \cdot \frac{( 1 - a ) - \frac{a + b}{x} + \frac{1 - b}{x ^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$

Правый множитель стремится к конечному и ненулевому пределу $1 - a$ . Левый множитель стремится к $\infty$ . Тогда, по прото-задаче П.25:

$\infty \cdot (1 - a) = \infty$

Итак, если $a \neq = 1$ , выражение всегда будет стремиться к $\infty$ , что противоречит условию, по которому предел равен $0$ . Значит $a$ может равняться только $1$ .

Но по условию предел равен $0$ . Поэтому $a$ может быть равно только $1$ .

Тогда получаем выражение:

$\frac{- x ( 1 + b ) + 1 - b}{x + 1} = \frac{x}{x} \cdot \frac{- ( 1 + b ) + \frac{1}{x} - \frac{b}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$

Найдем предел этого выражения, пользуясь его арифметическими свойствами, а также элементарными пределами (П.28):

$x \to \infty lim \frac{- ( 1 + b ) + \frac{1}{x} - \frac{b}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{- ( 1 + b ) + 0 - 0}{1 + 0} = b - 1$

С другой стороны, по условию нам известно, что этот предел должен равняться $0$ . Значит

$- (1 + b) = 0 b = - 1$

Итак:

$a = 1 b = - 1$