Заменим переменную с помощью теоремы о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to \pi }{\lim }\frac{\sin mx}{\sin nx}= \\ =\left|\begin{array}{c}y=x-\pi \\ \underset{x\to 0}{\lim }y(x)=\underset{x\to 0}{\lim }x-\pi =0\\ y\to 0\\ x=y+\pi \end{array}\right|= \\ =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(my+m\pi \right)}{\sin (ny+n\pi )}=\dots \end{gathered}$$

Пользуемся формулой приведения $\sin (x+\pi )=-\sin (x)$:

$$\dots =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{(-1{)}^m\sin (my)}{(-1{)}^n\sin (ny)}=\underset{y\to 0}{\lim }(-1{)}^{m-n}\frac{\sin (my)}{\sin (ny)}=\dots$$

Теперь отдельно находим предел числителя и знаменателя, заменяя переменную, а также пользуясь первым замечательным пределом (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \dots =\left|\begin{array}{c}u=my,v=ny\\ u\to 0,v\to 0\end{array}\right|=(-1{)}^{m-n}\frac{\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin (u)}{u}\cdot u}{\underset{v\to 0}{\lim }\frac{\sin (v)}{v}\cdot v}= \\ =(-1{)}^{m-n}\frac{u}{v}=(-1{)}^{m-n}\frac{m}{n} \end{gathered}$$