Пункт а)

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\dots$$

В числителе воспользуемся следующей формулой:

$$\cos (2\alpha )=2{\cos }^2(\alpha )-1=1-2{\sin }^2(\alpha )$$

$$\begin{gathered} \dots =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-1+2{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2}= \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\cdot \frac{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}\cdot 2}=\dots \end{gathered}$$

Заменим переменную с помощью теоремы о пределе сложной функции (П.27), а также воспользуемся первым замечательным пределом (П.31):

$$\begin{gathered} \dots =\left|\begin{array}{c}y=\frac{x}{2}\\ \underset{x\to 0}{\lim }y(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{2}=\frac{0}{2}=0\\ y\to 0\end{array}\right|= \\ =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sin y}{y}\cdot \frac{\sin y}{y\cdot 2}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Пункт б)

Воспользуемся определением тангенса, первым замечательным пределом, а также непрерывностью косинуса (П.39):

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x\cdot \cos x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\underset{x\to 0}{\lim }\cos x}=1\cdot \frac{1}{1}=1$$

Пункт в)

Воспользуемся определением котангенса, заменой переменной, первым замечательным пределом, а также непрерывностью косинуса:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }x\mathrm{ctg}3x=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\cos 3x}{\sin 3x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos 3x}{3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}}= \\ =\left|\begin{array}{c}y=3x\\ y\to 0\end{array}\right|=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\cos y}{3\cdot \frac{\sin y}{y}}=\frac{1}{3}\underset{y\to 0}{\lim }\cos y=\frac{1}{3} \end{gathered}$$