Рассмотрим последовательность:

$$\frac{(-2{)}^n+3^n}{(-2^{n+1}+3^{n+1})}$$

В числителе вынесем за скобки $3^n$, а в знаменателе $3^{n+1}$:

$$\frac{(-2{)}^n+3^n}{(-2^{n+1}+3^{n+1})}=\frac{3^n}{3^{n+1}}\cdot \frac{1+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n}{1+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^{n+1}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n}{1+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^{n+1}}$$

Теперь находим предел, используя арифметические свойства предела:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(-2{)}^n+3^n}{(-2^{n+1}+3^{n+1})}= \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{3}\cdot \frac{1+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n}{1+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^{n+1}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\underset{n\to \infty }{\lim }1+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n}{\underset{n\to \infty }{\lim }1+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^{n+1}}= \\ =\frac{1}{3}\cdot \frac{1+\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n}{1+\left(-\frac{2}{3}\right)\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n}= \\ =\frac{1}{3}\cdot \frac{1+0}{1+\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot 0}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Выше использовался факт, что ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^n\to 0$, так как это геометрическая прогрессия, у которой модуль знаменателя меньше $1$. Такие геометрические прогрессии являются бесконечно малыми (см. прото-задачу П.14).