В числителе для первого и последнего косинусов используем формулу произведения косинусов (см. указание), а также четность функции косинуса:

$$\begin{gathered} 1-\cos x\cos 2x\cos 3x= \\ =1-\frac{1}{2}\cos 2x\left[\cos (-2x)+\cos (4x)\right]= \\ =1-\frac{1}{2}{\cos }^{2}2x-\frac{1}{2}\cos 2x\cos 4x=\dots \end{gathered}$$

Для каждого из двух слагаемых с косинусами еще раз используем формулу произведения косинусов:

$$\begin{gathered} \dots =1-\frac{1}{4}\left[1+\cos 4x\right]-\frac{1}{4}\left[\cos 2x+\cos 6x\right]= \\ =\frac{4-1-\cos 4x-\cos 2x-\cos 6x}{4}= \\ =\frac{2\frac{1-\cos 4x}{2}+2\frac{1-\cos 2x}{2}+2\frac{1-\cos 6x}{2}}{4}=\dots \end{gathered}$$

Теперь в числителе для каждой дроби воспользуемся формулой синуса половинного угла (см. указание):

$$\dots =\frac{{\sin }^{2}2x+{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}3x}{2}$$

На этом наша работа с чилителем завершена. Итоговое выражение:

$$\frac{{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x+{\sin }^{2}3x}{2(1-\cos x)}=\dots$$

Для знаменателя тоже воспользуемся формулой синуса половинного угла:

$$\dots =\frac{{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x+{\sin }^{2}3x}{4{\sin }^2\frac{x}{2}}$$

Теперь найдем значение предела, используя первый замечательный предел (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x+{\sin }^{2}3x}{4{\sin }^2\frac{x}{2}}= \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}+4x^2\frac{{\sin }^{2}2x}{(2x{)}^2}+9x^2\frac{{\sin }^{2}3x}{(3x{)}^2}}{4\frac{x^2}{4}\frac{{\sin }^2\frac{x}{2}}{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}}= \\ =1+4+9=14 \end{gathered}$$