Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 59
Нормальная
Доказать следующие равенства:

Указание

Докажите следующее неравенство:

Воспользуйтесь найденной верхней границей для того для доказательства значения предела.

Решение

Рассмотрим следующее неравенство:

Домножим обе части на и разделим на :

«Поднимем» из знаменателя:

Распишем это неравенство для нескольких :

Замечаем, что после неравенство всегда выполняется.

Докажем по индукции, что

База индукции: пусть . Получаем:

Индукционный переход:

Предположим, что неравенство выполняется для некоторого :

Домножим обе части на :

Покажем, что

Так как , то последнее неравенство можно усилить, вставив значение для :

Итак, мы показали, что

Но

Поэтому, объединяя эти неравенства в одно, получаем:

Итак, неравенство выполняется и для . Индукционный переход доказан, а значит мы доказали, что:

А значит выполняется и

Теперь зажмем нашу последовательность из условия:

На первые члена последовательности, для которых неравенство в правой части не выполняется можно не обращать внимание. На предел они не окажут никакого влияния (см. прото-задачу П-ссылка).

Так как и (см. прото-задачу П-ссылка), то, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность из условия тоже стремится к .