Демидович
59

Доказать следующие равенства:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Докажите следующее неравенство:

Воспользуйтесь найденной верхней границей для того для доказательства значения предела.

Решение

Рассмотрим следующее неравенство:

Домножим обе части на и разделим на :

"Поднимем" из знаменателя:

Распишем это неравенство для нескольких :

Замечаем, что после неравенство всегда выполняется.

Докажем по индукции, что

База индукции: пусть . Получаем:

Индукционный переход:

Предположим, что неравенство выполняется для некоторого :

Домножим обе части на :

Покажем, что

Так как , то последнее неравенство можно усилить, вставив значение для :

Итак, мы показали, что

Но

Поэтому, объединяя эти неравенства в одно, получаем:

Итак, неравенство выполняется и для . Индукционный переход доказан, а значит мы доказали, что:

А значит выполняется и

Теперь зажмем нашу последовательность из условия:

На первые члена последовательности, для которых неравенство в правой части не выполняется можно не обращать внимание. На предел они не окажут никакого влияния (см. прото-задачу П.16).

Так как и (см. прото-задачу П.10), то, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность из условия тоже стремится к .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Неизменность предела последовательности
Сохранение предела последовательности при добавлении или отбрасывании конечного числа ее членов.