Доказать следующие равенства:
Внимательно разберите ход решения прото-задачи П.12.
Внимательно разберите ход решения прото-задачи П.12. Убедитесь, что вы все поняли. В этом решении будут комментироваться только основные моменты.
Если , то
И тогда
Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):
Применим его для числителя последовательности:
Воспользуемся еще одним свойством модуля (см. прото-задачу П.1):
С помощью этого свойства можно "вытащить" показатель степени из-под модуля:
Поэтому полученное для числителя цепное неравенство можно переписать так:
Поделим это неравенство на положительное :
Нам достаточно лишь показать, что
Если это так, последовательность из условия будет автоматом "зажата" между двумя последовательностями, стремящимися к , а значит, по теореме о двух милиционерах, сама будет стремиться к .
Итак, дальше мы будем доказывать, что
Путь доказательства абсолютно такой же, что и в доказательстве в прото-задаче П.12. Внимательно его изучите. Далее будут только основные шаги, некоторые переходы не будут поясняться!
Представим последовательность в рекуррентом виде:
где, — последовательность отношений.
Выясним, чему равен каждый член :
Покажем, что последовательность отношений убывает:
Делим обе части на (смены знаков не будет, так как ):
"Переворачиваем" дроби:
Итак, мы доказали, что убывает.
Докажем, что найдется такой номер , что будет строго меньше :
Разбираемся с неравенством в конце:
Домножаем обе части на :
Изолируем :
Так как натуральное (ведь это номер элемента последовательности), возьмем за округление сверху ("потолок") полученного выше выражения, увеличенного на :
Итак, мы нашли такой номер , что соответствующий ему член последовательности отношений будет строго меньше .
Теперь сразу переходим к готовому неравенству (разъяснение смотрите в прото-задаче, о которой говорилось выше):
Заменим и на соостветствующие выражения:
Теперь "зажмем" эту последовательность между и правой частью выведенного неравенства:
На первые членов последовательности, для которых неравенство в правой части может не выполняться не обращаем внимание. На предел эти первые членов не окажут никакого влияния.
"Последовательность" в левой части неравенства состоит из одних и, очевидно, стремится к .
Выясним предел последовательности в правой части неравенства (принимая во внимание, что дробь является громоздкой константой и не зависит от ):
Тут мы использовали тот факт, геометрическая прогрессия со знаменателем, который меньше (а у нас по определению меньше ) стремится к (см. прото-задачу П.14).
Итак, наша последовательность зажата с одной строны нулем (который ) и, начиная с номера , зажата с другой стороны убывающей геометрической прогрессией (которая тоже ), а значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" последовательность тоже стремится к .
Это означает, что последовательности слева и справа в выведенном в начале решения неравенстве стремятся к :
И вновь, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к :