Внимательно разберите ход решения прото-задачи П.12. Убедитесь, что вы все поняли. В этом решении будут комментироваться только основные моменты.

Если $a=0$, то

$$\frac{0^n}{n!}=0$$

И тогда $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{0^n}{n!}=\underset{n\to \infty }{\lim }0=0$$

Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

$$-|a|\le a\le |a|$$

Применим его для числителя последовательности:

$$-|a^n|\le a^n\le |a^n|$$

Воспользуемся еще одним свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

$$|a\cdot b|=|a||b|$$

С помощью этого свойства можно "вытащить" показатель степени из-под модуля:

$$|a^n|=|a\cdot a\cdot a\cdot \dots |=|a||a||a|\dots =|a{|}^n$$

Поэтому полученное для числителя цепное неравенство можно переписать так:

$$-|a{|}^n\le a^n\le |a{|}^n$$

Поделим это неравенство на положительное $n!$:

$$-\frac{|a{|}^n}{n!}\le \frac{a^n}{n!}\le \frac{|a{|}^n}{n!}$$

Нам достаточно лишь показать, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|a{|}^n}{n!}=0$$

Если это так, последовательность из условия будет автоматом "зажата" между двумя последовательностями, стремящимися к $0$, а значит, по теореме о двух милиционерах, сама будет стремиться к $0$.

Итак, дальше мы будем доказывать, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|a{|}^n}{n!}=0$$

Путь доказательства абсолютно такой же, что и в доказательстве в прото-задаче П.12. Внимательно его изучите. Далее будут только основные шаги, некоторые переходы не будут поясняться!

Представим последовательность $\frac{|a{|}^n}{n!}$ в рекуррентом виде:

$$x_{n+1}=x_n\cdot q_n,$$

где, $q_n$ — последовательность отношений.

Выясним, чему равен каждый член $q_n$:

$$q_n=\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\frac{|a{|}^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{|a{|}^n}{n!}}=\frac{|a{|}^n\cdot |a|}{n!\cdot (n+1)}\cdot \frac{n!}{|a{|}^n}=\frac{|a|}{n+1}$$

$$q_n=\frac{|a|}{n+1}$$

Покажем, что последовательность отношений $q_n$ убывает:

$$q_{n+1}<q_n$$

$$\frac{|a|}{n+2}<\frac{|a|}{n+1}$$

Делим обе части на $|a|$ (смены знаков не будет, так как $|a|>0$):

$$\frac{1}{n+2}<\frac{1}{n+1}$$

"Переворачиваем" дроби:

$$\begin{gathered} n+2>n+1 \\ 2>1 \end{gathered}$$

Итак, мы доказали, что $q_n$ убывает.

$■$

Докажем, что найдется такой номер $t$, что $q_t$ будет строго меньше $1$:

$$\exists t:q_t<1$$

Разбираемся с неравенством в конце:

$$q_t<1$$

$$\frac{|a|}{t+1}<1$$

Домножаем обе части на $t+1$:

$$|a|<t+1$$

Изолируем $t$:

$$t>|a|-1$$

Так как $t$ натуральное (ведь это номер элемента последовательности), возьмем за $t$ округление сверху ("потолок") полученного выше выражения, увеличенного на $1$:

$$t=\lceil |a|-1\rceil +1>\lceil |a|-1\rceil \ge |a|-1$$

Итак, мы нашли такой номер $t$, что соответствующий ему член последовательности отношений $q_t$ будет строго меньше $1$.

$■$

Теперь сразу переходим к готовому неравенству (разъяснение смотрите в прото-задаче, о которой говорилось выше):

$$x_n\le \frac{x_t}{q_t^t}\cdot q_t^n,n>t$$

Заменим $x_n$ и $x_t$ на соостветствующие выражения:

$$\frac{|a{|}^n}{n!}\le \frac{|a{|}^t}{t!\cdot q_t^t}\cdot q_t^n,n>t$$

Теперь "зажмем" эту последовательность между $0$ и правой частью выведенного неравенства:

$$0<\frac{|a{|}^n}{n!}\le \frac{|a{|}^t}{t!\cdot q_t^t}\cdot q_t^n,n>t$$

На первые $t$ членов последовательности, для которых неравенство в правой части может не выполняться не обращаем внимание. На предел эти первые $t$ членов не окажут никакого влияния.

"Последовательность" в левой части неравенства состоит из одних $0$ и, очевидно, стремится к $0$.

Выясним предел последовательности в правой части неравенства (принимая во внимание, что дробь является громоздкой константой и не зависит от $n$):

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|a{|}^t}{t!\cdot q_t^t}\cdot q_t^n=\frac{|a{|}^t}{t!\cdot q_t^t}\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_t^n=\frac{|a{|}^t}{t!\cdot q_t^t}\cdot 0=0$$

Тут мы использовали тот факт, геометрическая прогрессия со знаменателем, который меньше $1$ (а $q_t$ у нас по определению меньше $1$) стремится к $0$ (см. прото-задачу П.14).

Итак, наша последовательность $\frac{|a{|}^n}{n!}$ зажата с одной строны нулем (который $\to 0$) и, начиная с номера $t$, зажата с другой стороны убывающей геометрической прогрессией (которая тоже $\to 0$), а значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" последовательность тоже стремится к $0$.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|a{|}^n}{n!}=0$$

Это означает, что последовательности слева и справа в выведенном в начале решения неравенстве стремятся к $0$:

$$-\frac{|a{|}^n}{n!}\le \frac{a^n}{n!}\le \frac{|a{|}^n}{n!}$$

И вновь, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к $0$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a^n}{n!}=0$$

$■$