Демидович
69

Доказать, что последовательность

монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность

монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел

Указание

Составить соотношения и воспользоваться неравенством примера 7.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользоваться указанием Демидовича.

Решение

Убывание

Покажем, что эта последовательность убывает, то есть

Для левой части воспользуемся неравенством Бернулли, которое доказывается в задаче 7:

Продолжаем преобразования:

Последнее неравенство очевидно выполняется. Мы доказали, что

Это значит, что последовательность убывает.

Сходимость

Все члены последовательности положительные, а значит, она ограничена снизу .

Итак, убывает, но ограничена снизу. Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Значит и имеет предел.

Возрастание

Покажем, что эта последовательность возрастает, то есть

Так как

то мы можем воспользоваться неравенством Бернулли:

Продолжаем преобразования:

Последнее неравенство очевидно верно. Мы доказали, что

Это значит, что последовательность возрастает.

Сходимость

Докажем, что :

Итак, любой член ограничен сверху .

В качестве общей границы возьмем

Получили верхнюю границу для :

Итак, возрастает, но ограничена сверху числом . Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Значит и имеет предел.

Одинаковость пределов и

Найдем предел отношения и :

Мы воспользовались тем, что (см. прото-задачу П.10).

Итак,

Но и сходятся, причем предел , поэтому можно воспользоваться правилом разделения пределов в дробях:

Получается, что

Доказали, что пределы и совпадают. Их общий предел и называют числом .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.