Доказательство неравенства

Поиск значений $n$

Итак, мы доказали, что

$$0<e-{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<\frac{3}{n}(n=1,2,\dots )$$

Предел $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3}{n}=0$$

(см. прото-задачу "Элементарные пределы последовательностей").

Распишем, что значит $\frac{3}{n}\to 0$ по определению предела:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3}{n}=0\iff \forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N:\left|\frac{3}{n}\right|<\epsilon$$

Раз выражение выше выполняется для любого положительного $\epsilon$, то должно выполняться и для числа $0.001$.

$$\text{для }0.001\exists N=N(0.001)\forall n>N:\left|\frac{3}{n}\right|<0.001$$

Рассмотрим последнее неравенство. Модуль можно убрать, так как выражение под ним всегда положительное:

$$\frac{3}{n}<0.001$$

Откуда

$$n>\frac{3}{0.001}=3000$$

Итак, начиная с $n=3001$ будет выполняться неравенство:

$$\frac{3}{n}<0.001$$

Выше мы показали, что

$$e-{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<\frac{3}{n}$$

Поэтому, начиная с $n=3001$

$$e-{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<\frac{3}{n}<0.001$$

$$e-{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<0.001$$