Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 76
Нормальная

Доказать, что

где есть логарифм числа при основании .

Зависимость
Решение

Пусть .

Введем обозначение :

Теперь рассмотрим последовательность из условия, предел которой нам нужно найти:

Заменим справа найденным выше значением:

Теперь введем еще одну последовательность :

Тогда, по определению «пола» и «потолка числа»:

Воспользуемся неравенством:

Доказательство

Докажем, что для любого выполняется неравенство:

Рассмотрим, чему может быть равна разница:

Если — целое число, то эта разница равна . Если нет, то разница равна . То есть, справедливо следующее неравенство:

Введем обозначение

«Перевернем» дроби:

По пункту а) задачи 75:

Теперь вернемся к равенству, полученному выше:

Найдем предел :

Раз , то , по прото-задаче П-ссылка . Но тогда и , так как . Наконец, по все той же прото-задаче последовательности и стремятся к , то есть в неравенстве

последовательности слева и справа стремятся к , а значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность тоже стремится к :


Теперь рассмотрим вариант, когда . Тогда , а искомый предел можно записать в следующем виде: