Доказать, что
где есть логарифм числа при основании .
Доказать, что
где есть логарифм числа при основании .
Пусть .
Введем обозначение :
Теперь рассмотрим последовательность из условия, предел которой нам нужно найти:
Заменим справа найденным выше значением:
Теперь введем еще одну последовательность :
Тогда, по определению "пола" и "потолка числа":
Воспользуемся неравенством:
Докажем, что для любого выполняется неравенство:
Рассмотрим, чему может быть равна разница:
Если — целое число, то эта разница равна . Если нет, то разница равна . То есть, справедливо следующее неравенство:
Введем обозначение
"Перевернем" дроби:
По пункту а) задачи 75:
Теперь вернемся к равенству, полученному выше:
Найдем предел :
Раз , то , по прото-задаче П.9 . Но тогда и , так как . Наконец, по все той же прото-задаче последовательности и стремятся к , то есть в неравенстве
последовательности слева и справа стремятся к , а значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к :
Теперь рассмотрим вариант, когда . Тогда , а искомый предел можно записать в следующем виде: