Демидович
76

Доказать, что

где есть логарифм числа при основании .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Пусть .

Введем обозначение :

Теперь рассмотрим последовательность из условия, предел которой нам нужно найти:

Заменим справа найденным выше значением:

Теперь введем еще одну последовательность :

Тогда, по определению "пола" и "потолка числа":

Воспользуемся неравенством:

Доказательство

Докажем, что для любого выполняется неравенство:

Рассмотрим, чему может быть равна разница:

Если — целое число, то эта разница равна . Если нет, то разница равна . То есть, справедливо следующее неравенство:

Введем обозначение

"Перевернем" дроби:

По пункту а) задачи 75:

Теперь вернемся к равенству, полученному выше:

Найдем предел :

Раз , то , по прото-задаче П.9 . Но тогда и , так как . Наконец, по все той же прото-задаче последовательности и стремятся к , то есть в неравенстве

последовательности слева и справа стремятся к , а значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к :


Теперь рассмотрим вариант, когда . Тогда , а искомый предел можно записать в следующем виде:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Связь б.м. и б.б. последовательностей
Полезное свойство перехода из б.м. последовательностей в б.б. и наоборот.