Демидович
8

Доказать неравенство

Указание

Использовать неравенство

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Доказывать надо по методу математической индукции.

В индукционном переходе домножить обе части неравенства на .

После домножения преобразовать правую часть и воспользоваться указанием Демидовича.

Решение

Неравенство из указания

Сначала докажем неравенство из указания к задаче:

Воспользуемся неравенством Бернулли, которое мы доказали в задаче 7.

В этом неравенстве стоит знак "строго больше", так как оно обернется в равенстве только при (но проверяем только для натуральных ) или только когда , а этого не может быть, так как эта дробь будет при любом натуральном положительной.

Итак, доказали неравенство

Применим степень к числителю и знаменателю дроби и домножим обе части неравенства на знаменатель:

В таком виде мы воспользуемся этим неравенством позднее.


Докажем теперь неравенство из условия по методу математической индукции.

База индукции

В качестве базы возьмем , так как по условию :

Индукционный переход

Пусть неравенство выполняется для некоторого натурального :

Надо доказать, что оно выполняется и для . Домножим обе части неравенства на положительное :

Преобразуем правую часть неравенства:

Для числителя в правой части теперь применим полученное из указания неравенство, которое мы вывели в начале решения!

Мы доказали индукционный переход. Это означает, что приведенное в условии неравенство выполняется для любых натуральных .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!