Демидович
81

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Выразите в виде рекуррентной формулы:

Для ограничения сверху докажите по методу математической индукции, что

Решение

Для начала выразим в виде рекуррентной формулы:

Монотонность

Покажем, что — возрастающая последовательность:

Доказывать будем по методу математической индукции.

База индукции: пусть . Получаем:

Возводим обе части в квадрат:

Индукционный переход:

Предположим, что для какого-то выполняется:

Докажем, что выполняется неравенство для :

Воспользуемся рекуррентной формулой:

Возводим обе части в квадрат:

Последнее выполняется по предположению индукции.

Итак, неравенство выполняется и для . Доказали индукционный переход. А значит доказали, что

Значит — возрастающая последовательность.

Ограничение сверху

Докажем по методу математической индукции, что

База индукции: пусть . Получаем:

Индукционный переход:

Предположим, что доказываемое неравенство выполняется для какого-то :

Докажем, что оно выполняется и для :

Воспользуемся рекуррентной формулой:

Возводим обе части в квадрат:

Последнее выполняется по предположению индукции.

Итак, неравенство выполняется и для . Доказали индукционный переход. А значит доказали, что

Значит, ограничена сверху числом .


Мы показали, что возрастает и ограничена сверху. Значит, сходится.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!