Итак, нам нужно показать, что

$$\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N,p>0:|x_{n+p}-x_n|<\epsilon$$

Будем работать с последним неравенством:

$$\left|\frac{\sin 1}{2}+\dots +\frac{\sin n+p}{2^{n+p}}-\left(\frac{\sin 1}{2}+\dots \frac{\sin n}{2^n}\right)\right|<\epsilon$$

$$\left|\frac{\sin n+1}{2^{n+1}}+\dots \frac{\sin n+p}{2^{n+p}}\right|<\epsilon$$

По определению, $\sin a\le 1$, поэтому все синусы можно заменить на $1$, усилив неравенство:

$$\left|\frac{\sin n+1}{2^{n+1}}+\dots +\frac{\sin n+p}{2^{n+p}}\right|\le \left|\frac{1}{2^{n+1}}+\dots +\frac{1}{2^{n+p}}\right|<\epsilon$$

Далее будем работать с усиленным неравенством. Найденное для него $N$ будет по цепному неравенству работать и с исходным нервенством.

$$\left|\frac{1}{2^{n+1}}+\dots +\frac{1}{2^{n+p}}\right|<\epsilon$$

От модуля можно избавиться, так как выражение под ним всегда больше $0$:

$$\frac{1}{2^{n+1}}+\dots +\frac{1}{2^{n+p}}<\epsilon$$

Вынесем за скобки $\frac{1}{2^n}$:

$$\frac{1}{2^n}\left(\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{2^p}\right)<\epsilon$$

В скобках воспользуемся формулой суммы $p$ членов геометрической прогрессии с первым членом, равным $\frac{1}{2}$ и таким же знаменателем:

$$\left(\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{2^p}\right)=\frac{\frac{1}{2}\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^p-1\right)}{\frac{1}{2}-1}=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^p$$

Заменяем скобку в неравенстве на полученное выражение:

$$\frac{1}{2^n}\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^p\right)<\epsilon$$

Замечаем, что скобка всегда меньше $1$, поэтому заменяем ее на $1$:

$$\frac{1}{2^n}\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^p\right)<\frac{1}{2^n}<\epsilon$$

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^n<\epsilon$$

Прологарифмируем неравенство по основанию $\frac{1}{2}$. Так как по условию $\frac{1}{2}<1$, то знак неравенства сменится на противоположный:

$$n>{\log }_{\frac{1}{2}}\epsilon$$

Итак, для любого $\epsilon >0$ нам достаточно взять $N$ по следующей формуле:

$$N(\epsilon )=\lceil \left|{\log }_{\frac{1}{2}}\epsilon \right|\rceil$$

Тогда, какое-бы $n>N$ мы не взяли,

$$n\ge N(\epsilon )+1>N(\epsilon )=\lceil \left|{\log }_{\frac{1}{2}}\epsilon \right|\rceil \ge {\log }_{\frac{1}{2}}\epsilon$$

А раз такое произвольное $n$

$$n>{\log }_{\frac{1}{2}}\epsilon ,$$

то, «возвращаясь» по длинной цепочке цепного неравенства мы приходим к тому, что для произвольного $p$:

$$|x_{n+p}-x_n|<\epsilon$$

Мы доказали, что последовательность $x_n$ является фундаментальной, а значит она сходится.

$■$