Демидович
83

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих последовательностей:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Итак, нам нужно показать, что

Будем работать с последним неравенством:

По определению, , поэтому все синусы можно заменить на , усилив неравенство:

Далее будем работать с усиленным неравенством. Найденное для него будет по цепному неравенству работать и с исходным нервенством.

От модуля можно избавиться, так как выражение под ним всегда больше :

Вынесем за скобки :

В скобках воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии с первым членом, равным и таким же знаменателем:

Заменяем скобку в неравенстве на полученное выражение:

Замечаем, что скобка всегда меньше , поэтому заменяем ее на :

Прологарифмируем неравенство по основанию . Так как по условию , то знак неравенства сменится на противоположный:

Итак, для любого нам достаточно взять по следующей формуле:

Тогда, какое-бы мы не взяли,

А раз такое произвольное

то, "возвращаясь" по длинной цепочке цепного неравенства мы приходим к тому, что для произвольного :

Мы доказали, что последовательность является фундаментальной, а значит она сходится.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!