Пусть последовательность $x_n$ сходится, то есть имеет какой-то конечный предел $a$. Распишем, что это значит по определению:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a\iff \forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N:|x_n-a|<\epsilon$$

Раз выполняется, для любого $\epsilon$, то будет выполняться и выберем какое-нибудь положительное ${\epsilon }_0$.

По определению, все элементы последовательности после $N=N({\epsilon }_0)$ удовлетворять неравенству:

$$|x_n-a|<{\epsilon }_0$$

Разложим это неравенство по пункту 1 прото-задачи П.5:

$$a-{\epsilon }_0<x_n<a+{\epsilon }_0$$

Итак, после $N$ всё бесконечное количество элементов последовательности лежит между четкими границами $a-{\epsilon }_0$ и $a+{\epsilon }_0$. Но у нас есть еще $N$ первых элементов последовательности, которые могут и не входить в обозначенный выше промежуток.

Поэтому за границу надо взять наибольший член последовательности до $N$-го номера, либо одну из границ $a-{\epsilon }_0$ или $a+{\epsilon }_0$:

$$M=\max \left(|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_N|,|a-{\epsilon }_0|,|a+{\epsilon }_0|\right)$$

Полученное число $M$ и будет ограничивать последовательность $x_n$:

$$\forall n:|x_n|\le M$$

Значит, последовательность $x_n$ ограничена.

$■$