Доказать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена.
Воспользуйтесь определением предела, чтобы показать, что после какого-то все члены последовательности ограничены. Члены последовательности до можно проверить вручную.
Границей последовательности будет максимальный по модулю член последовательности до или -коридор предела.
Пусть последовательность сходится, то есть имеет какой-то конечный предел . Распишем, что это значит по определению:
Раз выполняется, для любого , то будет выполняться и выберем какое-нибудь положительное .
По определению, все элементы последовательности после удовлетворять неравенству:
Разложим это неравенство по пункту 1 прото-задачи П.5:
Итак, после всё бесконечное количество элементов последовательности лежит между четкими границами и . Но у нас есть еще первых элементов последовательности, которые могут и не входить в обозначенный выше промежуток.
Поэтому за границу надо взять наибольший член последовательности до -го номера, либо одну из границ или :
Полученное число и будет ограничивать последовательность :
Значит, последовательность ограничена.