Демидович
93

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь определением предела, чтобы показать, что после какого-то все члены последовательности ограничены. Члены последовательности до можно проверить вручную.

Границей последовательности будет максимальный по модулю член последовательности до или -коридор предела.

Решение

Пусть последовательность сходится, то есть имеет какой-то конечный предел . Распишем, что это значит по определению:

Раз выполняется, для любого , то будет выполняться и выберем какое-нибудь положительное .

По определению, все элементы последовательности после удовлетворять неравенству:

Разложим это неравенство по пункту 1 прото-задачи П.5:

Итак, после всё бесконечное количество элементов последовательности лежит между четкими границами и . Но у нас есть еще первых элементов последовательности, которые могут и не входить в обозначенный выше промежуток.

Поэтому за границу надо взять наибольший член последовательности до -го номера, либо одну из границ или :

Полученное число и будет ограничивать последовательность :

Значит, последовательность ограничена.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.