Задача 93 — Демидович

I§2Свойства пределов

└─

Главная

└─

Задачи

└─

I. Введение в анализ

└─

§2. Теория последовательностей

└─

Свойства пределов

└─

Задача 93

Нормальная

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена.

Петр Радько

Указание

Воспользуйтесь определением предела, чтобы показать, что после какого-то $N$ все члены последовательности ограничены. Члены последовательности до $N$ можно проверить вручную.

Границей последовательности будет максимальный по модулю член последовательности до $N$ или $ε$ -коридор предела.

Решение

Пусть последовательность $x_{n}$ сходится, то есть имеет какой-то конечный предел $a$ . Распишем, что это значит по определению:

$n \to \infty lim x_{n} = a \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : ∣ x_{n} - a ∣ < ε$

Раз выполняется, для любого $ε$ , то будет выполняться и выберем какое-нибудь положительное $ε_{0}$ .

По определению, все элементы последовательности после $N = N (ε_{0})$ удовлетворять неравенству:

$∣ x_{n} - a ∣ < ε_{0}$

Разложим это неравенство по пункту 1 прото-задачи П-ссылка:

$a - ε_{0} < x_{n} < a + ε_{0}$

Итак, после $N$ всё бесконечное количество элементов последовательности лежит между четкими границами $a - ε_{0}$ и $a + ε_{0}$ . Но у нас есть еще $N$ первых элементов последовательности, которые могут и не входить в обозначенный выше промежуток.

Поэтому за границу надо взять наибольший член последовательности до $N$ -го номера, либо одну из границ $a - ε_{0}$ или $a + ε_{0}$ :

$M = max (∣ x_{1} ∣, ∣ x_{2} ∣, \dots, ∣ x_{N} ∣, ∣ a - ε_{0} ∣, ∣ a + ε_{0} ∣)$

Полученное число $M$ и будет ограничивать последовательность $x_{n}$ :

$\forall n : ∣ x_{n} ∣ \leq M$

Значит, последовательность $x_{n}$ ограничена.

$■$

Зависимости

Упрощение модулей в неравенствах

Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.

92 94