Демидович
94

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает любо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой.

Построить примеры последовательностей всех трех типов.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Рассмотрите два случая:

  1. Константая последовательность (все члены равны друг другу)
  2. Неконстантая последовательность (существуют член(ы), которые не равны друг другу)

Для неконстантных последовательностей отдельным обозначением выделите член, который не равен остальным. Взяв окрестность, вдвое меньшую расстояния между пределом и выделенным членом, покажите, что этот выделенный член (или те, что еще больше/меньше) является /.

Примеры

Для всех трех примеров подойдет последовательность с минимальными модификациями.

Решение

Обозначим последовательность в условии за . Известно, что она сходится к какому-то числу .

Константная последовательность

Рассмотрим случай, все члены равны :

То есть, каждый член равен . В этом случае, очевидно, что

Неконстантные последовательности

Будем теперь рассматривать такие последовательности , в которых не все члены равны , то есть существует как минимум один член .

Обозначим за . Будем считать, что (для доказательство аналогичное).

Теперь наша задача, подобрать такую -окрестность для , чтобы оказался ниже ее.

Распишем по определению, что значит :

Раз выполняется для любого положительного , то и для найдется такое , что для любого выполняется неравенство:

Важно отметить, что .

Доказательство

Пусть это не так и . Тогда для абсолютно всех членов последовательности выполняется неравенство

В том числе оно выполняется и для , то есть

Но , поэтому

Так как , то , поэтому

Получили противоречие. Значит не может быть равно , поэтому .

Но — конечное число, а значит мы имеем первых элементов последовательности :

Среди этого конечного числа членов есть хотя бы один (), а в общем случае некоторое конечное подмножество элементов , которые находятся ниже нижней границы -окрестности точки :

Рассмотрим минимальный элемент множества :

  • меньше всех остальных элементов
  • меньше любого члена от до (их конечное число)
  • меньше всех остальных при , так как все они лежат в специально подобранной нами -окрестности, а наш минимальный элемент находится ниже ее.

Получается, что

То есть меньше любого члена последовательности (кроме самого ), но при этом сам является членом последовательности. По определению это означает, что

Примеры

Пример достижения только :

Пример достижения только :

Пример достижения и , и :

А сходится эта последовательность по теореме о двух милиционерах, так как ее можно зажать между двумя сходящимися к последовательностями:

Указание

Воспользуйтесь результатом задачи 93.

Получите противоречие, рассмотрев вариант, когда последовательность не достигает супремума/инфинума и этот супремум/инфинум не является предельной точкой.

Решение

Обозначим последовательность за , а предел, к корому она стремится, за .

Раз сходится к , то, согласно задаче 93, она ограничена, а значит имеет и .

Если

Если , то получаем константную последовательность, все члены которой равны друг другу. Очевидно, такая последовательность достигает и , и .

Если

Пусть . В силу единственности предела что-то одно ( или ), либо сразу оба не является пределом.

Будем рассматривать случай, когда не является пределом (для доказательство аналогичное).

Нам нужно доказать, что , то есть существует какой-то член последовательности , который равен .

Докажем от противного. Пусть . Так как не является пределом, то она не является и предельной точкой. Значит, для нее можно найти такую -окрестность, в которой находится конечное число членов (либо их вообще нет).

Доказательство существования такой окрестности

По определению (см. прото-задачу П.18) число является предельной точкой, когда

Но наше число — не предельная точка (предельной точкой является ), поэтому выполняется отрицание определения выше:

А это и означает, что существует какая-то конкретная -окрестность числа , что все члены последовательности при не попадают в эту окрестность.

Получается, что в эту окрестность могут (а может нет) попадать только конечное число элементов от до .

Если в -окрестности есть члены , то возьмем меньше, чем расстояние "самого близкого" к члена последовательности. Если в исходной окрестности нет членов , то оставляем все как есть.

Итак, имеем число и его -окрестность, в которой нет членов последовательности . Но такая ситуация противоречит определению супремума, согласно которому для нашего должен найтись такой член , что

Получили противоречие. Значит наше предположение о том, что оказалось неверным. Поэтому , то есть последовательность достигает своего супремума.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Предельная точка последовательности
Даются два определения предельной точки последовательности. Доказывается эквивалентность этих определений.