Обозначим последовательность в условии за $x_n$. Известно, что она сходится к какому-то числу $A$.

Константная последовательность

Рассмотрим случай, все члены $x_n$ равны $A$:

$$\forall n:x_n=A$$

То есть, каждый член $x_n$ равен $A$. В этом случае, очевидно, что

$$x_n=\sup x_n=\inf x_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$$

$■$

Неконстантные последовательности

Будем теперь рассматривать такие последовательности $x_n$, в которых не все члены равны $A$, то есть существует как минимум один член $x_{n^{\prime }}\ne A$.

Обозначим $x_{n^{\prime }}$ за $B$. Будем считать, что $A>B$ (для $B>A$ доказательство аналогичное).

Теперь наша задача, подобрать такую $\epsilon$-окрестность для $A$, чтобы $B$ оказался ниже ее.

Распишем по определению, что значит $x_n\to A$:

$$\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N:|x_n-A|<\epsilon$$

Раз выполняется для любого положительного $\epsilon$, то и для $\epsilon =\frac{A-B}{2}$ найдется такое $N$, что для любого $n>N$ выполняется неравенство:

$$|x_n-A|<\frac{A-B}{2}$$

Важно отметить, что $N\ge n^{\prime }\ge 1$.

Но $N$ — конечное число, а значит мы имеем $N$ первых элементов последовательности $x_n$:

$$x_1,x_2,\dots ,x_{n^{\prime }},\dots x_N$$

Среди этого конечного числа членов есть хотя бы один ($x_{n^{\prime }}$), а в общем случае некоторое конечное подмножество элементов $\left\{x_t\right\}$, которые находятся ниже нижней границы $\frac{A-B}{2}$-окрестности точки $A$:

$$\forall x_t\in \left\{x_t\right\}:x_t<A-\frac{A-B}{2}$$

Рассмотрим минимальный элемент множества $\left\{x_t\right\}$:

$$\underline{x}=\min \left\{x_t\right\}$$

• меньше всех остальных элементов $\left\{x_t\right\}$
• меньше любого члена от $x_1$ до $x_N$ (их конечное число)
• меньше всех остальных $x_n$ при $n>N$, так как все они лежат в специально подобранной нами $\epsilon$-окрестности, а наш минимальный элемент находится ниже ее.

Получается, что

$$\forall n:\underline{x}\le x_n$$

То есть $\underline{x}$ меньше любого члена последовательности $x_n$ (кроме самого $\underline{x}$), но при этом сам является членом последовательности. По определению это означает, что

$$\inf x_n=\underline{x}$$

$■$

Примеры

Пример достижения только $\sup$:

$$x_n=\frac{1}{n}\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0\sup x_n=x_1=1$$

Пример достижения только $\inf$:

$$x_n=-\frac{1}{n}\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0\inf x_n=x_1=-1$$

Пример достижения и $\sup$, и $\inf$:

$$x_n=(-1{)}^n\frac{1}{n}\inf x_n=x_1=-1\sup x_n=x_2=\frac{1}{2}$$

А сходится эта последовательность по теореме о двух милиционерах, так как ее можно зажать между двумя сходящимися к $0$ последовательностями:

$$-\frac{1}{n}\le (-1{)}^n\frac{1}{n}\le \frac{1}{n}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(-1{)}^n\frac{1}{n}=0$$

Обозначим последовательность за $x_n$, а предел, к корому она стремится, за $A$.

Раз $x_n$ сходится к $A$, то, согласно задаче 93, она ограничена, а значит имеет $\inf$ и $\sup$.

Если $\inf =\sup$

Если $\inf =\sup$, то получаем константную последовательность, все члены которой равны друг другу. Очевидно, такая последовательность достигает и $\inf$, и $\sup$.

$$x_n=\sup x_n=\inf x_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$$

Если $\inf \ne \sup$

Пусть $\inf \ne \sup$. В силу единственности предела что-то одно ($\sup$ или $\inf$), либо сразу оба не является пределом.

Будем рассматривать случай, когда $\sup$ не является пределом (для $\inf$ доказательство аналогичное).

Нам нужно доказать, что $\sup \in \left\{x_n\right\}$, то есть существует какой-то член последовательности $x_n$, который равен $\sup$.

Докажем от противного. Пусть $\sup \notin \left\{x_n\right\}$. Так как $\sup$ не является пределом, то она не является и предельной точкой. Значит, для нее можно найти такую $\epsilon$-окрестность, в которой находится конечное число членов $x_n$ (либо их вообще нет).

Если в $\epsilon$-окрестности есть члены $x_n$, то возьмем $\epsilon$ меньше, чем расстояние "самого близкого" к $\sup$ члена последовательности. Если в исходной окрестности нет членов $x_n$, то оставляем все как есть.

Итак, имеем число $\sup$ и его $\epsilon$-окрестность, в которой нет членов последовательности $x_n$. Но такая ситуация противоречит определению супремума, согласно которому для нашего $\epsilon$ должен найтись такой член $x_n$, что

$$x_n>\sup -\epsilon$$

Получили противоречие. Значит наше предположение о том, что $\sup \notin \left\{x_n\right\}$ оказалось неверным. Поэтому $\sup \in \left\{x_n\right\}$, то есть последовательность $x_n$ достигает своего супремума.

$■$