Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает любо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой.
Построить примеры последовательностей всех трех типов.
Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает любо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой.
Построить примеры последовательностей всех трех типов.
Рассмотрите два случая:
Для неконстантных последовательностей отдельным обозначением выделите член, который не равен остальным. Взяв окрестность, вдвое меньшую расстояния между пределом и выделенным членом, покажите, что этот выделенный член (или те, что еще больше/меньше) является /.
Для всех трех примеров подойдет последовательность с минимальными модификациями.
Обозначим последовательность в условии за . Известно, что она сходится к какому-то числу .
Рассмотрим случай, все члены равны :
То есть, каждый член равен . В этом случае, очевидно, что
Будем теперь рассматривать такие последовательности , в которых не все члены равны , то есть существует как минимум один член .
Обозначим за . Будем считать, что (для доказательство аналогичное).
Теперь наша задача, подобрать такую -окрестность для , чтобы оказался ниже ее.
Распишем по определению, что значит :
Раз выполняется для любого положительного , то и для найдется такое , что для любого выполняется неравенство:
Важно отметить, что .
Пусть это не так и . Тогда для абсолютно всех членов последовательности выполняется неравенство
В том числе оно выполняется и для , то есть
Но , поэтому
Так как , то , поэтому
Получили противоречие. Значит не может быть равно , поэтому .
Но — конечное число, а значит мы имеем первых элементов последовательности :
Среди этого конечного числа членов есть хотя бы один (), а в общем случае некоторое конечное подмножество элементов , которые находятся ниже нижней границы -окрестности точки :
Рассмотрим минимальный элемент множества :
Получается, что
То есть меньше любого члена последовательности (кроме самого ), но при этом сам является членом последовательности. По определению это означает, что
Пример достижения только :
Пример достижения только :
Пример достижения и , и :
А сходится эта последовательность по теореме о двух милиционерах, так как ее можно зажать между двумя сходящимися к последовательностями:
Воспользуйтесь результатом задачи 93.
Получите противоречие, рассмотрев вариант, когда последовательность не достигает супремума/инфинума и этот супремум/инфинум не является предельной точкой.
Обозначим последовательность за , а предел, к корому она стремится, за .
Раз сходится к , то, согласно задаче 93, она ограничена, а значит имеет и .
Если , то получаем константную последовательность, все члены которой равны друг другу. Очевидно, такая последовательность достигает и , и .
Пусть . В силу единственности предела что-то одно ( или ), либо сразу оба не является пределом.
Будем рассматривать случай, когда не является пределом (для доказательство аналогичное).
Нам нужно доказать, что , то есть существует какой-то член последовательности , который равен .
Докажем от противного. Пусть . Так как не является пределом, то она не является и предельной точкой. Значит, для нее можно найти такую -окрестность, в которой находится конечное число членов (либо их вообще нет).
По определению (см. прото-задачу П.18) число является предельной точкой, когда
Но наше число — не предельная точка (предельной точкой является ), поэтому выполняется отрицание определения выше:
А это и означает, что существует какая-то конкретная -окрестность числа , что все члены последовательности при не попадают в эту окрестность.
Получается, что в эту окрестность могут (а может нет) попадать только конечное число элементов от до .
Если в -окрестности есть члены , то возьмем меньше, чем расстояние "самого близкого" к члена последовательности. Если в исходной окрестности нет членов , то оставляем все как есть.
Итак, имеем число и его -окрестность, в которой нет членов последовательности . Но такая ситуация противоречит определению супремума, согласно которому для нашего должен найтись такой член , что
Получили противоречие. Значит наше предположение о том, что оказалось неверным. Поэтому , то есть последовательность достигает своего супремума.