Демидович

Вещественные числа

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа справедливы следующие равенства:

Пусть

Доказать, что

где — число сочетаний из элементов по . Вывести отсюда формулу бинома Ньютона.

Доказать неравенство Бернулли:

где — числа одного и того же знака, большие .

Доказать, что если , то справедливо неравенство

причем знак равенства имеет место лишь при .

Доказать неравенство

Доказать неравенство:

Доказать неравенства:

Пусть — положительное число, не являющееся точным квадратом целого числа, и — сечение, определяющее вещественное число , где в класс входят все положительные рациональные числа такие, что , а в классе — все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе нет наибольшего числа, а в классе нет наименьшего числа.

Сечение , определяющее число , строится следующим образом: класс содержит все рациональные числа такие, что ; класс содержит все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе нет наибольшего числа, а в классе — наименьшего.

Построив соответствующие сечения, доказать равенства:

Построить сечение, определяющее число .

Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.

Показать, что множество всех правильных рациональных дробей , где и — натуральные числа и , не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти нижнюю и верхнюю грани этого множества.

Определить нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел , удовлетворяющих неравенству

Пусть — множество чисел, противоположных числам . Доказать, что:

Пусть есть множество всех сумм , где и . Доказать равенства:

Пусть есть множество всех произведений , где и , причем и . Доказать равенства:

Доказать неравенства:

Решить неравенства:

Доказать тождество

При измерении длины в см абсолютная погрешность составляла мм; при измерении расстояния в км абсолютная погрешность была равна м. Какое измерение точнее?

Определить, сколько верных знаков содержит число

если относительная погрешность этого числа составляет .

Число

содержит верных знака. Определить, какова относительная погрешность этого числа.

Стороны прямоугольника равны:

В каких границах заключается площадь этого прямоугольника? Каковы абсолютная погрешность и относительная погрешность площади прямоугольника, если за стороны его принять средние значения?

Масса тела , а его объем . Определить плотность тела и оценить абсолютную и относительную погрешности плотности, если за массу тела и его объем принять средние значения.

Радиус круга

С какой минимальной относительной погрешностью может быть определена площадь круга, если принять ?

Известны измерения прямоугольного параллелепипеда:

В каких границах заключается объем этого параллелепипеда? С какими абсолютной и относительной погрешностями может быть определен объем этого параллелепипеда, если за его измерения принять средние значения?

С какой абсолютной погрешностью следует измерить сторону квадрата , где , чтобы иметь возможность определить площадь этого квадрата с точностью до ?

С какими абсолютными погрешностями достаточно измерить стороны и прямоугольника, чтобы площадь его можно было вычислить с точностью до , если ориентировочно стороны прямоугольника не превышают каждая?

Пусть и — относительные погрешности чисел и , — относительная погрешность числа . Доказать, что