Метод математической индукции

Введен некорректный запрос!
Можно вводить только числа от 1 до 4462.
Буквы и другие символы не допускаются!

Эта задача еще не добавлена!
Предложите свое решение!
Можете финансово поддержать проект.

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа $n$ справедливы следующие равенства:

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

$1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$

$1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^{2}$

$1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$

Пусть

$a^{[n]} = a (a - h) \dots [a - (n - 1) h] и a^{[0]} = 1 .$

Доказать, что

$(a + b)^{[n]} = m = 0 \sum n C_{n}^{m} a^{[n - m]} b^{[m]},$

где $C_{n}^{m}$ — число сочетаний из $n$ элементов по $m$ . Вывести отсюда формулу бинома Ньютона.

Доказать неравенство Бернулли:

$(1 + x_{1}) (1 + x_{2}) \dots (1 + x_{n}) ⩾ 1 + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n},$

где $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ — числа одного и того же знака, большие $- 1$ .

Доказать, что если $x > - 1$ , то справедливо неравенство

$(1 + x)^{n} ⩾ 1 + n x (n > 1),$

причем знак равенства имеет место лишь при $x = 0$ .

Доказать неравенство

$n! < (\frac{n + 1}{2})^{n} при n > 1$

Доказать неравенство:

$а) 2! \cdot 4! \dots (2 n)! > [(n + 1)!]^{n} при n > 1 б) \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{2 n - 1}{2 n} < \frac{1}{2 n + 1}$

Доказать неравенства:

$а) 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > n (n ⩾ 2);$

$б) n^{n + 1} > (n + 1)^{n} (n ⩾ 3);$

$в) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ sin (k = 1 \sum n x_{k}) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ⩽ k = 1 \sum n sin x_{k} (0 ⩽ x_{k} ⩽ π; k = 1, 2, \dots, n);$

$г) (2 n)! < 2^{2 n} (n!)^{2}$