Демидович

Верхние и нижние грани

Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.

Показать, что множество всех правильных рациональных дробей , где и — натуральные числа и , не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти нижнюю и верхнюю грани этого множества.

Определить нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел , удовлетворяющих неравенству

Пусть — множество чисел, противоположных числам . Доказать, что:

Пусть есть множество всех сумм , где и . Доказать равенства:

Пусть есть множество всех произведений , где и , причем и . Доказать равенства: