Демидович

Теория последовательностей

Пусть

Доказать, что

определив для каждого число такое, что

Заполнить следующую таблицу:

Доказать, что есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный ), указав для всякого число , такое, что при , если:

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:

Доказать, что последовательности:

имеют бесконечный предел при (т.е. являются бесконечно большими), определив для всякого число такое, что при .

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:

Показать, что

не ограничена, однако не является бесконечно большой при .

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:

Предполагая, что пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений:

Доказать следующие равенства:

Какое выражение больше при достаточно больших :

Доказать, что

Доказать, что последовательность

монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность

монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел

Доказать, что

При каких значениях показателя выражение будет отличаться от числа меньше чем на ?

Пусть — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к и — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к . Доказать, что

Зная, что

доказать, что

Вывести отсюда формулу

где , и вычислить число с точностью до .

Доказать, что число иррационально.

Доказать неравенства

Доказать неравенства:

а) , где — любое натуральное число;

б) , где — вещественное число, отличное от нуля.

Доказать, что

где есть логарифм числа при основании .

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:

, где — целые неотрицательные числа, не превышающие , начиная с .

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих последовательностей:

, где

Говорят, что последовательность имеет ограниченное изменение, если существует число такое, что

Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится.

Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения.

Сформулировать, что значит, что для данной последовательности не выполнен критерий Коши.

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности

Доказать, что если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел:

Доказать, что монотонная последовательность будет сходящейся, если сходится некоторая ее подпоследовательность.

Доказать, что если

то

Если , то что можно сказать о пределе ?

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена.

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает любо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой.

Построить примеры последовательностей всех трех типов.

Доказать, что числовая последовательность , стремящаяся к , обязательно достигает своей нижней грани.

Найти наибольший член последовательности , если:

Найти наименьший член последовательности , если:

Для последовательности найти , , и , если:

Найти и , если:

Найти частичные пределы следующих последовательностей:

Построить пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов числа

Построить пример числовой последовательности, для которой все члены данной числовой последовательности

являются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?

Построить пример последовательности:

а) не имеющей конечных частичных пределов;
б) имеющей единственный конечный частичный предел, но не являющейся сходящейся;
в) имеющей бесконечное множество частичных пределов;
г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число.

Доказать, что последовательности и имеют одни и те же частичные пределы.

Доказать, что из ограниченной последовательности всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность .

Доказать, что если последовательность не ограничена, то существует подпоследовательность такая, что

Пусть последовательность сходится, а последовательность расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей:

Привести соответствующие примеры.

Пусть последовательности и расходятся. Можно ли утверждать, что последовательности:

также расходятся?

Пусть , и — произвольная последовательность. Можно ли утверждать, что ? Привести соответствующие примеры.

Пусть

Следует ли отсюда, что либо , либо ?

Рассмотреть пример: , .

Доказать, что:

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Пусть и . Доказать, что:

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Доказать, что если существует, то какова бы ни была последовательность , имеем:

Доказать, что если для некоторой последовательности , какова бы ни была последовательность , имеет место по меньшей мере одно из равенств:

или

то последовательность — сходящаяся.

Доказать, что если и

то последовательность — сходящаяся.

Доказать, что если последовательность ограничена и

то частичные пределы этой последовательности расположены всюду плотно между ее нижним и верхним пределами:

т.е. любое число из отрезка является частичным пределом данной последовательности.

Пусть числовая последовательность удовлетворяет условию

Доказать, что существует.

Доказать, что если последовательность сходится, то последовательность средних арифметических

также сходится и

Обратное утверждение неверно: построить пример.

Доказать, что если

то

Доказать, что если последовательность сходится и , то

Доказать, что если , то

предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.

Доказать, что .

Доказать теорему Штольца, если

то

Найти:

Доказать, что если — натуральное число, то:

Доказать, что последовательность

сходится.

Таким образом, имеет место формула

где — так называемая постоянная Эйлера и при .

Найти

Последовательность чисел определяется следующими формулами:

Найти .

Пусть — последовательность чисел, определяемая следующей формулой:

Доказать, что .

Доказать, что последовательности и , определяемые следующими формулами:

имеют общий предел

(арифметико-геометрическое средее чисел и ).