Доказать, что последовательности:

$$\text{а) }{x}_n=(-1{)}^{n}n,\text{б) }{x}_n=2^{\sqrt{n}},\text{в) }{x}_n=\lg (\lg n)(n\ge 2)$$

имеют бесконечный предел при $n\to \infty$ (т.е. являются бесконечно большими), определив для всякого $E>0$ число $N=N(E)$ такое, что $|x_n|>E$ при $n>N$.

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу: $$\begin{array}{cccccc}E& 10& 100& 1000& 10000& \dots \\ N& & & & & \end{array}$$

Показать, что

$$x_n=n^{(-1{)}^n}(n=1,2,\dots )$$

не ограничена, однако не является бесконечно большой при $n\to \infty$.

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:

$$\text{а) }\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\infty ;\text{б) }\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=-\infty ;\text{в) }\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=+\infty .$$