Последовательность чисел $x_n(n=1,2,\dots )$ определяется следующими формулами:

$$x_1=a,x_2=b,x_n=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}(n=3,4,\dots ).$$

Найти $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$.

Пусть $x_n(n=1,2,\dots )$ — последовательность чисел, определяемая следующей формулой:

$$x_0>0,x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right)(n=0,1,2,\dots ).$$

Доказать, что $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=1$.

Доказать, что последовательности $x_n$ и $y_n(n=1,2,\dots )$, определяемые следующими формулами:

$$x_1=a,y_1=b,x_{n+1}=\sqrt{x_n{y}_n},y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2},$$

имеют общий предел

$$\mu (a,b)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$$

(арифметико-геометрическое средее чисел $a$ и $b$).