Демидович

Свойства подпоследовательностей

Доказать, что из ограниченной последовательности всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность .

Доказать, что если последовательность не ограничена, то существует подпоследовательность такая, что

Пусть последовательность сходится, а последовательность расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей:

Привести соответствующие примеры.

Пусть последовательности и расходятся. Можно ли утверждать, что последовательности:

также расходятся?

Пусть , и — произвольная последовательность. Можно ли утверждать, что ? Привести соответствующие примеры.

Пусть

Следует ли отсюда, что либо , либо ?

Рассмотреть пример: , .

Доказать, что:

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Пусть и . Доказать, что:

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Доказать, что если существует, то какова бы ни была последовательность , имеем:

Доказать, что если для некоторой последовательности , какова бы ни была последовательность , имеет место по меньшей мере одно из равенств:

или

то последовательность — сходящаяся.

Доказать, что если и

то последовательность — сходящаяся.

Доказать, что если последовательность ограничена и

то частичные пределы этой последовательности расположены всюду плотно между ее нижним и верхним пределами:

т.е. любое число из отрезка является частичным пределом данной последовательности.

Пусть числовая последовательность удовлетворяет условию

Доказать, что существует.