Демидович

Понятие функции

Определить области существования следующих функций:

В треугольник (см. рисунок), основание которого и высота , вписан прямоугольник , высота которого . Выразить периметр прямоугольника и его площадь как функции от .

Построить графики функций и .

Рисунок к условию

В треугольнике сторона , сторона и угол . Выразить и площадь треугольника как функции переменной . Построить графики функций и .

В равнобедренной трапеции (см. рисунок), основания которой и , а высота , проведена прямая и отстоящая от вершины на расстоянии . Выразить площадь фигуры как функцию переменной . Построить график функции: .

Рисунок к условию

На сегменте оси равномерно распределена масса, равная , а в точках этой оси и находятся сосредоточенные массы по в каждой. Составить аналитическое выражение функции , численно равной массе, находящейся в интервале , и построить график этой функции.

Функция определяется следующим образом:

Построить график этой функции. Показать, что

Функция (целая часть числа ) определяется следующим образом: если , где — целое число и , то . Построить график этой функции.

Пусть

обозначает число простых чисел, не превышающих числа . Построить график этой функции для значений аргумента .

На какое множество отображает множество функция , если:

Переменная пробегает интервал . Определить, какое множество пробегает переменная , если:

Найти , , , , , если

Найти , , , если

Найти , , , , если

Найти , , , , , если

Найти , , , , , , если

Найти значения , для которых: 1) 2) 3) , если:

Найти , если:

Пусть

Показать, что

Найти целую линейную функцию

если и .

Чему равны и (линейная интерполяция)?

Найти целую рациональную функцию второй степени:

если .

Чему равны и (квадратичная интерполяция)?

Найти целую рациональную функцию третьей степени:

если , , , .

Найти функцию вида

если , , .

Доказать, что если для линейной функции

значения аргумента образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции образуют также арифметическую прогрессию.

Доказать, что если для показательной функции

значения аргумента образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции образуют геометрическую прогрессию.

Пусть функция определена при . Найти области определения функций:

Пусть

Показать, что

Пусть

Определить , если:

Найти , , , , если:

Найти , , если .

Пусть

Найти , если .

Найти , если

Найти , если

  1. Найти , если

  1. Найти , если

Доказать, что следующие функции являются монотонно возрастающими в указанных промежутках:

Доказать, что следующие функции являются монотонно убывающими в указанных промежутках:

Исследовать на монотонность следующие функции:

Можно ли почленно логарифмировать неравенство?

Пусть и — монотонно возрастающие функции. Доказать, что если

то

Определить обратную функцию и ее область существования, если:

Функция , определенная в симметричном интервале , называется четной, если

и нечетной, если

Определить, какие из данных функций являются четными, а какие нечетными:

Доказать, что всякую функцию , определенную в симметричном интервале , можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Функция , определенная на множестве , называется периодической, если существует число (период функции — в широком смысле слова!) такое, что

Выяснить, какие из данных функций являются периодическими, и определить наименьший период их, если:

Доказать, что для функции Дирихле

периодом является любое рациональное число.

  1. Доказать, что сумма и произведение двух периодических функций, которые определены на общем множестве и периоды которых соизмеримы, есть функции также периодические.
  2. Функция называется антипериодической, если

Доказать, что — периодическая функция с периодом .

Доказать, что если для функции выполнено равенство , где и — положительные постоянные, то , где — постоянная, а — периодическая функция с периодом .