Демидович

Ограниченная функция

Показать, что функция, определяемая условиями:

где и — взаимно простые числа и , и

конечна, но не ограничена в каждой точке (т. е. не ограничена в любой окрестности этой точки).

Если функция определена и локально ограничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то является ли эта функция ограниченной на данном интервале или соответственно сегменте?

Показать, что функция

ограничена в интервале .

Показать, что функция

не ограничена в любой окрестности точки , однако не является бесконечно большой при .

Исследовать на ограниченность функцию

в интервале .

Показать, что функция

в области имеет нижнюю грань и верхнюю грань .

Функция определена и монотонно возрастает на сегменте . Чему равны ее нижняя и верхняя грани на этом сегменте?

Определить верхнюю и нижнюю грани функций:

Определить колебание функции на интервалах:

Определить колебание функции на интервалах:

Пусть и — соответственно нижняя и верхняя грани функции на промежутке .

Доказать, что если и — функции, определенные на , то

Построить примеры функций и , для которых в последних соотношениях имеет место:

а) случай равенства и б) случай неравенства.

Пусть функция определена в области и ограничена на каждом сегменте . Положим:

Построить графики функций и , если: