Иррациональные неравенства

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

Заглянуть

Посмотреть все темы!

ВышматПрото-задачиОбщее

└─

└─

└─

└─

└─

└─

Иррациональные неравенства

Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с корнями четных степеней.

Теорема

$f < g \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ f \geq 0 g > 0 g^{2} > f$

Доказательство

Рассмотрим левую часть:

$f < g$

Мы не можем брать корень четной степени из отрицательных чисел, поэтому $f$ не может быть отрицательным:

$f \geq 0$

$g$ должно быть больше нуля, ведь квадратный корень из $f$ всегда положительный:

$g > 0$

Мы использовали знак строгого неравенства, чтобы исключить случай, когда $f = g = 0$ .

Раз с обеих сторон от знака неравенства находятся положительные числа, то неравенство можно возвести в квадрат:

$g^{2} > f$

Объединяем все полученные неравенства:

$f < g \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ f \geq 0 g > 0 g^{2} > f$

$■$

Теорема

$f > g \Leftrightarrow ⎣ ⎡ {g \geq 0 f > g^{2} {f \geq 0 g < 0$

Доказательство

Рассмотрим левую часть:

$f > g$

Мы не можем брать корень четной степени из отрицательного числа, поэтому $f$ не может быть отрицательным числом:

$f \geq 0$

Рассмотрим два варианта. Число $g$ может быть неотрицательным ИЛИ отрицательным.

$⎣ ⎡ {f \geq 0 g \geq 0 {f \geq 0 g < 0$

Нижняя фигурная скобка полностью удовлетворяет нашему неравенству $f > g$ , ведь любое отрицательное $g$ уже очевидно меньше, чем $f$ .

А вот верхняя скобка еще не удовлетворяет. Раз $f \geq 0$ и $g \geq 0$ , то можно возвести обе части неравенства в квадрат:

$f > g^{2}$

Поэтому верхнюю скобку записываем так:

$⎩ ⎨ ⎧ f \geq 0 g \geq 0 f > g^{2}$

Замечаем, что первое неравенство в этой скобке автоматически следует из двух последних, поэтому его можно опустить:

${g \geq 0 f > g^{2}$

Объединяя все вместе:

$f > g \Leftrightarrow ⎣ ⎡ {g \geq 0 f > g^{2} {f \geq 0$

pan>g<0

$■$

Теорема

$f < g \Leftrightarrow {f \geq 0 g > f$

Доказательство

Рассмотрим левую часть:

$f < g$

Мы не можем брать квадратный корень из отрицательных чисел, поэтому $f$ и $g$ не могут быть отрицательными:

$f \geq 0 g \geq 0$

$f < g$

Объединяем все полученные неравенства:

$f < g \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ f \geq 0 g \geq 0 g > f$

Можно спокойно избавиться от центрального условия справа, так оно автоматом выполняется при выполнении двух оставшихся неравенств:

$f < g \Leftrightarrow {f \geq 0 g > f$

$■$

Зависимые задачи

212