Задача 212 — Демидович

Указание

Поиск функции

Дополните формулу функции до полного квадрата.

Обозначьте $(x + \frac{1}{x})$ за $x$ .

Новое ограничение на $x$

Обозначьте $(x + \frac{1}{x})$ за $t$ и, выразив $x$ через $t$ , получите ограничение на $t$ .

Воспользуйтесь прото-задачами П-ссылка и П-ссылка.

Решение

Поиск функции

Имеем

$f (1 + \frac{1}{x}) = x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$

Дополним до полного квадрата:

$f (1 + \frac{1}{x}) = (x^{2} + 2 x \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}}) - = 2 2 x \frac{1}{x}$

$f (1 + \frac{1}{x}) = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$

Обозначим $1 + \frac{1}{x}$ за $x$ :

$f (x) = x^{2} - 2$

Новое ограничение на $x$

Выше мы нашли функцию $f (x)$ и обозначили $x + \frac{1}{x}$ за $x$ . Сейчас, чтобы не путаться, обозначим $x + \frac{1}{x}$ за $t$ .

$t = x + \frac{1}{x}$

В условии задачи на $x$ наложено ограничение: $∣ x ∣ \geq 2$ . Нам нужно узнать, какое теперь ограничение лежит на $t$ ?

Выразим $x$ через $t$ :

$t = x + \frac{1}{x} t x = x^{2} + 1 x^{2} - t x + 1 = 0$

Получили квадратное уравнение. Это означает, что мы не можем напрямую выразить $x$ через $t$ .

Найдем два корня через дискриминант:

$x_{1} = \frac{t + t ^{2} - 4}{2} x_{2} = \frac{t - t ^{2} - 4}{2}$

Найденные корни можно считать за функции $x (t)$ . Другими словами при попытке выразить $x$ через $t$ мы получили две функции, которые вместе и представляют собой выражение $x$ от $t$ .

Естественно, на каждую из этих корней-функций дествует ограничение $∣ x (t) ∣ \geq 2$ .

Решим неравенство для $x_{1}$ :

$∣ x_{1} ∣ \geq 2 ∣ ∣ \frac{t + t ^{2} - 4}{2} ∣ ∣ \geq 2$

Избавимся от модуля по прото-задаче П-ссылка:

$∣ ∣ \frac{t + t ^{2} - 4}{2} ∣ ∣ \geq 2 \Leftrightarrow ⎣ ⎡ \frac{t + t ^{2} - 4}{2} \geq 2 \frac{t + t ^{2} - 4}{2} \leq - 2$

Проведем упрощения справа:

$⎣ ⎡ \frac{t + t ^{2} - 4}{2} \geq 2 \frac{t + t ^{2} - 4}{2} \leq - 2 \Leftrightarrow [t^{2} - 4 \geq 4 - t t^{2} - 4 \leq - t - 4$

Для решения получившихся справа неравенств с корнями воспользуемся прото-задачей П-ссылка.

Верхнее неравенство

Рассмотрим отдельно строгое неравенство и случай, когда выражения слева и справа равны.

$t^{2} - 4 > 4 - t \Leftrightarrow ⎣ ⎡ {4 - t \geq 0 t^{2} - 4 > 16 - 8 t + t^{2} {t^{2} - 4 \geq 0 4 - t < 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow ⎣ ⎡ {t \leq 4 t > \frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{5}{2} < t \leq 4 {∣ t ∣ \geq 2 t > 4 \Leftrightarrow t > 4 \Leftrightarrow [\frac{5}{2} < t \leq 4 t > 4 \Leftrightarrow \Leftrightarrow t > \frac{5}{2}$

Осталось только найти случай равенства:

$t^{2} - 4 = 4 - t$

Без угрызений совести возводим обе части равенства в квадрат:

$t^{2} - 4 = 16 - 8 t + t^{2}$

$t = \frac{5}{2}$

Объединяя результат строгого неравенства и уравнения, получаем, что:

$t \geq \frac{5}{2}$

Нижнее неравенство

Рассмотрим отдельно строгое неравенство и случай, когда выражения слева и справа равны.

$t^{2} - 4 < - t - 4 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ t^{2} - 4 \geq 0 - t - 4 > 0 t^{2} + 8 t + 16 > t^{2} - 4 \Leftrightarrow \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ ∣ t ∣ \geq 2 t < - 4 t > - \frac{5}{2}$

Обратите внимание на два нижних неравенства. Они противоречат друг другу. Это значит, что нет таких $t$ , чтобы выполнялось наше строгое неравенство.

Найдем случай равенства:

$t^{2} - 4 = - t - 4$

Возводим обе части равенства в квадрат:

$t^{2} - 4 = t^{2} + 8 t + 16$

$t = - \frac{5}{2}$

Пытаемся подставить этот $t$ в исходное равенство и получаем противоречие: корень слева равен отрицательному числу справа.

Итак, нет таких $t$ , что

$t^{2} - 4 \leq - t - 4$

езультат:

$[t^{2} - 4 \geq 4 - t t^{2} - 4 \leq - t - 4 \Leftrightarrow t \geq \frac{5}{2}$

Итак, для функции $x_{1} (t)$ неравенству $∣ x_{1} (t) ∣ \geq 2$ удовлетворяют следующие $t$ :

$t \geq \frac{5}{2}$

Аналогичные действия (мне вас жаль) проводим для неравенства $∣ x_{2} ∣ \geq 2$ и получаем, что:

$t \leq - \frac{5}{2}$

Итак, объединяя результаты неравенств $∣ x_{1} ∣ \geq 2$ и $∣ x_{2} ∣ \geq 2$ , получаем, что на $t$ действует следующее ограничение:

$∣ t ∣ \geq \frac{5}{2}$

Вспоминаем, что $t$ у нас лишь для удобства. На самом деле мы заменяли $x + \frac{1}{x}$ на «новый» $x$ . Поэтому ограничение для нового $x$ :

$∣ x ∣ \geq \frac{5}{2}$

Зависимости

Иррациональные неравенства

Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с корнями четных степеней.

Упрощение модулей в неравенствах

Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.

211 213

Поиск функции

Новое ограничение на x

Поиск функции

Новое ограничение на x

Новое ограничение на $x$

Новое ограничение на $x$