Периоды тригонометрических функций

Синус и косинус

Будем доказывать для синуса. Для косинуса доказательство аналогичное.

Числам $x$, $x+2\pi$ и $x-2\pi$ соответствует одна и та же точка на тригонометрической окружности (если пройти по этой окружности лишний круг, то придешь туда, где был).

Поэтому:

$$\sin (x\pm 2\pi )=\sin (x)$$

Это означает, что функция синуса является периодической с периодом $2\pi$.

Теперь докажем, что $2\pi$ — основной период $\sin x$, то есть это наименьший положительный период. Пусть это не так и существует некоторый период $T$:

$$\sin (x\pm T)=\sin (x)0<T<2\pi$$

Пусть $x=0$. Тогда:

$$\sin (0\pm T)=\sin (\pm T)=\sin (0)=0$$

$$\sin (T)=0$$

Синус равняется $0$ только при углах, кратных $\pi$, то есть $T$ может равняться только:

$$T=0,\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots$$

Неравенству $0<T<2\pi$ удовлетворяет только $\pi$, то есть:

$$T=\pi$$

Пусть теперь $x=\frac{\pi }{2}$, тогда:

$$\sin \left(\frac{\pi }{2}+T\right)=\{\begin{array}{l}=\sin \left(\frac{3\pi }{2}\right)=-1\\ =\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1\end{array}$$

Получается, что наш синус для выбранного $x$ одновременно равняется и $1$ и $-1$. Противоречие. Значит, $T$ не является периодом синуса. Итак, мы от противного доказали, что $2\pi$ является основным периодом функции $\sin x$.

$■$

Тангенс и котангенс

По определению тангенса/котангенса:

$$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$$

Докажем, что $\pi$ является их периодом:

$$\mathrm{tg}(x\pm \pi )=\frac{\sin (x\pm \pi )}{\cos (x\pm \pi )}=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\mathrm{tg}x$$

$$\mathrm{ctg}(x\pm \pi )=\frac{\cos (x\pm \pi )}{\sin (x\pm \pi )}=\frac{-\cos x}{-\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}=\mathrm{ctg}x$$

Выше мы воспользовались формулами приведения. Мы доказали, что $\pi$ является периодом тангенса и котангенса.

Докажем теперь, что $\pi$ является основным периодом этих функций. Пусть это не так и существует некоторый период $T(0<T<\pi )$.

Пусть $x=0$, тогда:

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}(0\pm T)=\mathrm{tg}(\pm T)=\mathrm{tg}(0)=0 \\ \mathrm{ctg}(0\pm T)=\mathrm{ctg}(\pm T)=\mathrm{ctg}(0)=0 \end{gathered}$$

Тангенс равен нулю, когда его числитель, синус, равен $0$. Синус равен $0$ только в точках при углах, кратных $\pi$, то есть $T$ может равняться только:

$$T=0,\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots$$

Но наш период $T$ строго больше $0$ и строго меньше $\pi$. Как видим, в этих пределах вообще нет значений, при которых синус равен $0$. Для $T$ буквально нет значений. Значит, $T$ не является периодом для тангенса. Доказали, что основной период тангенса равен $\pi$.

Переходим к котангенсу. Он равен нулю, когде его числитель, косинус, равен $0$. Чтобы косинус равнялся $0$, $T$ должен равняться только:

$$T=0,\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\dots$$

Неравенству $0<T<\pi$ удовлетворяет только $\frac{\pi }{2}$, то есть:

$$T=\frac{\pi }{2}$$

Рассмотрим такой случай:

$$\mathrm{ctg}\left(T+T\right)=\{\begin{array}{l}=\mathrm{ctg}(2T)=\mathrm{ctg}(\pi )=\text{не определен}\\ =\mathrm{ctg}(T)=\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi }{2}\right)=0\end{array}$$

Получается, что котангенс $T+T$ одновременно не определен и равняется $0$. Противоречие. Значит, $T$ не может быть периодом котангенса. Доказали, что основной период котангенса равен $\pi$.

$■$