Предельная точка последовательности

Другими словами, какую-бы окрестность точки $b$ мы не взяли, в ней всегда будет содержаться бесконечное количество элементов последовательности $x_{n}$ .

Определение

Определение через подпоследовательность:

Существует подпоследовательность $x_{p_{n}}$ , которая стремится к

le="height:0.69444em;vertical-align:0em;">b.

Эквивалентность определений

Классическое определение предельной точки эквивалентно определению через подпоследовательность.

Доказательство

Классика $\Rightarrow$ подпоследовательность

Итак, имеем выполняющееся классическое определение.

Начнем строить подпоследовательность $x_{p_{n}}$ , которая стремится к $b$ .

Возьмем $ε_{1} = 1$ и $N_{1} = 1$ . По классическому определению, для $ε_{1}$ и $N_{1}$ существует такой номер $p_{1}$ члена последовательности, что $∣ x_{p_{1}} - b ∣ < ε_{1}$ . Итак, получили первый член подпоследовательности $x_{p_{1}}$ , который находится в $ε_{1}$ -окрестности точки $b$ .

Возьмем $ε_{2} = 2$ и $N_{2} = p_{1}$ . По классическому определению, для $ε_{2}$ и $N_{2}$ существует номер $p_{2} > p_{1}$ члена последовательности, что $∣ x_{p_{2}} - b ∣ < ε_{2}$ . Получили второй член подпоследовательности $x_{p_{2}}$ , который находится в $ε_{2}$ -окрестности точки $b$ .

Продолжаем эту операцию и получаем подпоследовательность:

$x_{p_{1}}, x_{p_{2}}, \dots, x_{p_{n}}, \dots$

Заметим ключевую особенность. Если номер члена нашей подпоследовательности равен $p_{k}$ , то член $x_{p_{k}}$ лежит в $\frac{1}{k}$ -окрестности точки $b$ .

Причем, все остальные члены после $k$ ( $x_{p_{k + 1}}$ , $x_{p_{k + 2}}$ , $\dots$ ) тоже лежат в $\frac{1}{k}$ -окрестности, потому что они лежат уже в своих окрестностях ( $\frac{1}{k + 1}$ , $\frac{1}{k + 2}$ , $\dots$ ), которые целиком умещаются в $\frac{1}{k}$ -окрестности.

Теперь докажем, что

$n \to \infty lim x_{p_{n}} = b$

Распишем по определению:

$\forall ε > 0 \exists N = N (ε) \forall n > N : ∣ x_{p_{n}} - b ∣ < ε$

Это определение полностью выполняется для нашей подпоследовательности, ведь для любого данного нам $ε$ мы находим натуральное число $N$ такое, что:

$\frac{1}{N} < ε$

Тогда все члены нашей подпоследовательности, начиная с номера $p_{N}$ , будут находиться в $\frac{1}{N}$ -окрестности, а значит и в $ε$ -окрестности точки $b$ .

$■$

Подпоследовательность $\Rightarrow$ классика

Итак, имеем какую-то подпоследовательность $x_{p_{n}}$ , которая стремится к $b$ .

Докажем, что выполняется классическое определение, а именно

$\forall ε > 0 \forall N \in N \exists n > N : ∣ x_{n} - b ∣ < ε$

Итак, нам даются произвольные числа $ε$ и $N$ . Задача: найти член $x_{n}$ ( $n > N$ ), который лежит в $ε$ -окрестности $b$ .

Так как подпоследовательность сходится к $b$ , то для данного нам $ε$ существует $N^{'}$ такое, что для всех $n > N^{'}$ члены $x_{p_{n}}$ будут в $ε$ -окрестности $b$ .

Итак, в $ε$ -окрестность попадает бесконечное число членов, начиная с номера $p_{N^{'}}$ :

$x_{p_{N^{'} + 1}}, x_{p_{N^{'} + 2}}, x_{p_{N^{'} + 3}}, \dots$

Все номера вида $p_{N^{'} + k}$ являются натуральными числами, причем каждый следующий номер строго больше предыдущего. Рано или поздно, мы наткнемся номер $p_{N^{'} + t} = N$ . Следующий член нашей подпоследовательности $x_{p_{N^{'} + t + 1}}$ будет удовлетворять двум условиям:

Он находится в $ε$ -окрестности $b$

pan>

Его номер

p_{N^{'} + t + 1}

больше

N

Вот мы и нашли такой член $x_{n}$ , который удовлетворяет классическому определению.

По этому алгоритму можно находить подобные члены для любых наперед заданных $ε$ и $N$ , а значит выполняется классическое определение предельной точки.

$■$

Зависимые задачи

94 125

Доказательство

Классика ⇒ подпоследовательность

Подпоследовательность ⇒ классика

Классика $\Rightarrow$ подпоследовательность

Подпоследовательность $\Rightarrow$ классика