Задача 125 — Демидович

Доказать, что из ограниченной последовательности $x_{n} (n = 1, 2, \dots)$ всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{p_{n}} (n = 1, 2, \dots)$ .

Петр Радько

Указание

Делите отрезок пополам, выбирая ту его половину, в которой остается бесконечное количество членов последовательности.

Покажите, что точка, к которой приведут постоянные деления пополам, является предельной точкой последовательности.

Решение

Если последовательность ограничена, значит существуют верхняя и нижняя ее границы. Обозначим нижнюю границу за $a$ , а верхнюю за $b$ .

Итак, все члены последовательности $x_{n}$ заключены в отезке $[a, b]$ . Разделим этот отрезок пополам. Хотя бы в одной половине отезка будет бесконечно много элементов последовательности $x_{n}$ .

Доказательство

Докажем от противного. Пусть в обеих половинах отрезка $[a, b]$ (то есть во всем отрезке $[a, b]$ ) содержится только конечное число членов $x_{n}$ . Но по условию все члены (а их бесконечно много) содержатся в этом отрезке. Получили противоречие. Значит, хотя бы одна половина отрезка $[a, b]$ содержит бесконечно много членов последовательности $x_{n}$ .

$■$

бозначим за

[a_{1}, b_{1}]

ту половину, в которой содержится бесконечное число элементов из

x_{n}

. Если в обеих половинах

[a, b]

получили бесконечное членов, выбираем любую.

Точно так же выделяем из $[a_{1}, b_{1}]$ половину $[a_{2}, b_{2}]$ , в которой есть бесконечно много элементов последовательности $x_{n}$ . Продолжая этот процесс, простоим систему вложенных отрезков

$[a, b] \supset [a_{1}, b_{1}] \supset [a_{2}, b_{2}] \supset \dots \supset [a_{n}, b_{n}] \supset \dots$

причем длина отрезка вида $[a_{n}, b_{n}]$ равна

$b_{n} - a_{n} = \frac{b - a}{2 ^{n}}$

Доказательство

Докажем по методу математической индукции.

База индукции: пусть $n = 1$ . Имеем отрезок $[a_{1}, b_{1}]$ , который является одной из половин отрезка $[a, b]$ . Раз он является половиной, до его длина в $2$ раза меньше длины исходного отрезка, то есть:

$b_{1} - a_{1} = \frac{b - a}{2}$

Индукционный переход:

Пусть для отрезка $[a_{k}, b_{k}]$ выполняется равенство:

$b_{k} - a_{k} = \frac{b - a}{2 ^{k}}$

Тогда отрезок $[a_{k + 1}, b_{k + 1}]$ будет являться одной из половин отрезка $[a_{k}, b_{k}]$ . Это означает, что его длина будет в $2$ раза меньше:

$b_{k + 1} - a_{k + 1} = \frac{\frac{b - a}{2 ^{k}}}{2} = \frac{b - a}{2 ^{k} \cdot 2} = \frac{b - a}{2 ^{k + 1}}$

$b_{k + 1} - a_{k + 1} = \frac{b - a}{2 ^{k + 1}}$

Индукционный переход доказан. Это означает, что доказываемое равенство выполняется для любого натруального $n$ .

$■$

аз имеем систему вложенных отрезков, значит существует точка

y

, которая принадлежит всем отрезкам системы.

Доказательство

Имеем два множества: $A$ и $B$ . Множество $A$ является множеством всех левых концов отрезков системы, $B$ — правых.

Любая левая граница любого отрезка системы лежит левее, то есть меньше, чем любая правая граница любого отрезка системы.

Это значит, что любой элемент из $A$ меньше, чем любой элемент из $B$ . По аксиоме непрерывности (полноты) существует вещественное число, такое, что

$a \leq y \leq b,$

где $a$ и $b$ — любые элементы из $A$ и $B$ .

$■$

Докажем, что $y$ — предельная точка последовательности $x_{n}$ . Доказывать будем по классическому определению (см. прото-задачу П-ссылка), то есть что в любой $ε$ -окрестности $y$ содержится бесконечное число элементов $x_{n}$ .

Возьмем произвольное $ε > 0$ . Оно образует окрестность вида $(y - ε, y + ε)$ для точки $y$ . Наша задача — в системе вложенных отрезков найти отрезок такой длины, чтобы он целиком вмещался в этой окрестности.

Важно учесть, что мы не знаем, в какой части отрезка находится $y$ . Может получиться и так, что $y$ и будет одним из концов отрезка. В этом случае длина искомого отрезка должа быть меньше $ε$ , то есть мы такой отрезок, чтобы выполнялось неравенство:

$\frac{b - a}{2 ^{n}} < ε \frac{b - a}{ε} < 2^{n}$

Прологарифмируем это неравенство по основанию $2$ :

$lo g_{2} \frac{b - a}{ε} < n$

Итак, для любого данного нам $ε$ достаточно взять такое натуральное $n$ , чтобы выполнялось неравенство:

$n > lo g_{2} \frac{b - a}{ε}$

Тогда отрезок $[a_{n}, b_{n}]$ будет целиком помещаться в $ε$ -окрестности точки $y$ . Но в этом отрезке, а значит и в $ε$ -окрестности $y$ , содержится бесконечное количество элементов $x_{n}$ . Это по определению означает, что $y$ — предельная точка последовательности $x_{n}$ .

По второму определению предельной точки (см. прото-задачу П-ссылка) это и означает, что существует некоторая подпоследовательность $x_{p_{n}}$ , которая стремится к $y$ .

$■$

Пример с иллюстрацией

Чтобы полностью понять ход доказательства выше, разберем простой пример.

На изображении ниже мы видим последовательность, которая целиком умещается в отрезке $[a, b]$ . Заметим также, что последовательность не имеет предела, она колеблется то вверх, то вниз и принимает одинаковые значения.

Пример

Мы начинаем строить систему вложенных отрезков и есть точка $y$ , которая всегда будет принадлежать каждому отрезку из этой системы. Причем в любой $ε$ -окрестности $y$ можно найти отрезок, в котором имеется бесконечное количество элементов. На изображении это отрезок $[a_{2}, b_{2}]$ .

Это и означает, что $y$ — предельная точка последовательности $x_{n}$ .

Зависимости

Предельная точка последовательности

Даются два определения предельной точки последовательности. Доказывается эквивалентность этих определений.

124 126