Функция $f(x)$ имеющая период $2l$ может быть представленна рядом Фурье

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}$$

где

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx(n=0,1,2\dots )$$

$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx(n=1,2\dots )$$

В нашей задаче $f(x)=\arcsin (\sin (x))$. Период $\sin (x)$ — $2\pi$, значит период $f(x)=\arcsin (\sin (x))$ тоже $2\pi$. Таким образом $l=\pi$

$f(x)=\arcsin (\sin (x))$ — нечётная функция, действительно

$$\begin{gathered} f(-x)=\arcsin (\sin (-x))=\arcsin (-\sin (x))= \\ =-\arcsin (\sin (x))=-f(x) \end{gathered}$$

Аналогично тому, как было получено, что $a_n=0$ в задаче 2951, $a_n=0$

Осталось найти $b_n$

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\arcsin (\sin x)\sin (nx)dx$$

Воспользуемся тем, что $\arcsin (\sin x)\sin (nx)$ — чётная функция и интервал, по которому мы интегрируем, симмертичен.

$$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\arcsin (\sin x)\sin (nx)dx$$

Вычислим $\arcsin (\sin x)$

При $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$

$$\arcsin (\sin x)=x$$

При $x\in \left[\frac{\pi }{2};\pi \right]$

Сделаем замену переменных $y=\pi -x,y\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$

$$\arcsin (\sin x)=\arcsin (\sin (\pi -x))=\arcsin (\sin y)=y=\pi -x$$

Таким образом

$$\arcsin (\sin x)=\{\begin{array}{l}x,0\le x\le \frac{\pi }{2}\\ \pi -x,\frac{\pi }{2}\le x\le \pi \end{array}$$

Функция задана кусочно, поэтому разобъём интеграл на два

$$a_n=\frac{2}{\pi }\left({\int }_0^{\pi /2}x\sin (nx)dx+{\int }_{\pi /2}^{\pi }(\pi -x)\sin (nx)dx\right)=\frac{2}{\pi }\left({\int }_0^{\pi /2}x\sin (nx)dx-{\int }_{\pi /2}^{\pi }x\sin (nx)dx+{\int }_{\pi /2}^{\pi }\pi \sin (nx)dx\right)$$

Рассмотрим каждый интеграл по отдельности

В первом интеграле ${\int }_0^{\pi /2}x\sin (nx)dx$ воспользуемся форумлой интегрирования по частям $\int udv=uv-\int vdu$, где

$$\begin{gathered} u=x;dv=\sin (nx)dx \\ du=dx;v=-\frac{1}{nx}\cos nx \end{gathered}$$

$${\int }_0^{\pi /2}x\sin (nx)dx={-\frac{1}{n}x\cos nx|}_0^{\pi /2}+\frac{1}{n}{\int }_0^{\pi /2}\cos (nx)dx=\frac{1}{n^2}\sin \frac{\pi }{2}n$$

Аналогично для второго интеграла ${\int }_{\pi /2}^{\pi }x\sin (nx)dx$ (изменены тоолько пределы интегрирования)

$$\begin{gathered} {\int }_{\pi /2}^{\pi }x\sin (nx)dx={-\frac{1}{n}x\cos nx|}_{\pi /2}^{\pi }+\frac{1}{n}{\int }_{\pi /2}^{\pi }\cos (nx)dx= \\ =\frac{\pi }{n}\cos \pi n-\frac{1}{n^2}\sin \frac{\pi }{2}n \end{gathered}$$

Третий интеграл

$${\int }_{\pi /2}^{\pi }\pi \sin (nx)dx=-\frac{\pi }{n}\cos \pi n$$

Подставим полученные значения интегралов в выражение $b_n$

$$a_n=\frac{2}{\pi }\left(\frac{1}{n^2}\sin \frac{\pi }{2}n-\frac{\pi }{n}\cos \pi n+\frac{1}{n^2}\sin \frac{\pi }{2}n-\frac{\pi }{n}\cos \pi n\right)=\frac{4}{\pi n^2}\sin \frac{\pi }{2}n$$

Рассмотрим отдельно чётные и нечётные $n$

При $n=2k,k\in \mathbb{N}$

$$\sin \frac{\pi }{2}n=\sin \pi k=0$$

Значит $b_{2k}$ = 0

При $n=2k+1,k\in \mathbb{N}$

$$\sin \frac{\pi }{2}n=\sin \left(\pi k+\frac{\pi }{2}\right)=$$

Значит $b_{2k+1}=(-1{)}^k\frac{4}{\pi (2k+1{)}^2}$

Подставим $n=2k+1$ и $b_{2k+1}$ в формулу ряда Фурье

$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{4}{\pi (2k+1{)}^2}\sin ((2k+1)x)$$

$$f(x)=\frac{4}{\pi }\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k+1{)}^2}\sin (2k+1)x$$