$f(x)$ в интервале $(-l,l)$ может быть представленна рядом Фурье

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}$$

где

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx(n=0,1,2\dots )$$

$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx(n=1,2\dots )$$

В нашей задаче $l=\frac{\pi }{2}$ и $f(x)=x\cos (x)$

Рассмотрим подробнее $f(x)$: $\cos (x)$ чётная, $x$ — нечётная. Произведение чётной и нечётной функции — нечётная функция. Значит $f(x)=x\cos (x)$ — нечётная и $f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}$ также нечётная

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}x\cos (x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx=0(n=0,1,2\dots ),$$

так как мы интегрируем нечётную функцию по симметричному интервалу

Осталось найти $b_n$

$$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}x\cos (x)\sin (2nx)dx$$

Воспользуемся формулой произведения синуса на косинус

$$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\left(\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\right),$$

Где $\alpha =2nx$, $\beta =x$

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}x\left(\sin (2nx-x)+\sin (2nx+x)\right)dx=\frac{1}{\pi }\left({\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}x\sin (2nx-x)dx+{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}x\sin (2nx+x)dx\right)$$

Вычислим вспомогательный интеграл ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}x\sin (kx)dx$. Воспользуемся формулой интегрирования по частям $\int udv=uv-\int vdu$

Где

$$\begin{gathered} u=x;dv=\sin (kx)dx \\ du=dx;v=-\frac{1}{k}\cos kx \end{gathered}$$

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}x\sin (kx)dx={-\frac{1}{k}x\cos kx|}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}+\frac{1}{k}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\cos (kx)dx={-\frac{1}{k}x\cos kx|}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}+{\frac{1}{k^2}\sin kx|}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=-\frac{\pi }{k}\cos \frac{\pi }{2}k+\frac{2}{k^2}\sin \frac{\pi }{2}k$$

Для вычисления двух суммируемых интегралолв из последнего выражения для $b_n$ достаточно подставить в вспомагательный интеграл $k=2n-1$ и $k=2n+1$.

Для $k=2n-1$ получим

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}x\sin ((2n-1)x)dx=-\frac{\pi }{2n-1}\cos \frac{\pi }{2}(2n-1)+\frac{2}{(2n-1{)}^2}\sin \frac{\pi }{2}(2n-1)$$

$\cos \frac{\pi }{2}(2n-1)=0$ и $\sin \frac{\pi }{2}(2n-1)=(-1{)}^{n+1}$, так как $\frac{\pi }{2}$ умнажается на целое нечётное число. Подставим эти два равенства в предыдущее и получим, что

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}x\sin ((2n-1)x)dx=(-1{)}^{n+1}\frac{2}{(2n-1{)}^2}$$

Аналогично для $k=2n+1$

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}x\sin ((2n+1)x)dx=(-1{)}^n\frac{2}{(2n+1{)}^2}$$

Подставим только что полученные значения двух интергралов в выражене для $b_n$

$$b_n=\frac{1}{\pi }\left((-1{)}^{n+1}\frac{2}{(2n-1{)}^2}+(-1{)}^n\frac{2}{(2n+1{)}^2}\right)=\frac{2}{\pi }\left((-1{)}^{n+1}\frac{1}{(2n-1{)}^2}-(-1{)}^{n+1}\frac{1}{(2n+1{)}^2}\right)=(-1{)}^{n+1}\frac{2}{\pi }\left(\frac{1}{(2n-1{)}^2}-\frac{1}{(2n+1{)}^2}\right)=(-1{)}^{n+1}\frac{2}{\pi }\frac{(2n+1{)}^2-(2n-1{)}^2}{(2n-1{)}^2(2n+1{)}^2}=(-1{)}^{n+1}\frac{2}{\pi }\frac{4n-(-4n)}{(4n^2-1{)}^2}=(-1{)}^{n+1}\frac{16}{\pi }\frac{n}{(4n^2-1{)}^2}$$

Подставим $b_n$ в формулу ряда Фурье и окончательно получим, что

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{16}{\pi }\frac{n}{(4n^2-1{)}^2}\sin 2nx$$ $$f(x)=\frac{16}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}n}{(4n^2-1{)}^2}\sin 2nx$$