4222 | Демидович. Решения

Демидович

Введен некорректный запрос!
Можно вводить только числа от 1 до 4462.
Буквы и другие символы не допускаются!

Эта задача еще не добавлена!
Предложите свое решение!
Можете финансово поддержать проект.

К РЕШЕНИЮ

4222

VIIIКратные и криволинейные интегралы

§11Криволинейные интегралы

Вычислить следующие криволинейные интегралы 1-го рода:

$C \int y^{2} d s,$

где $C$ — арка циклоиды

$x = a (t - sin t), y = a (1 - cos t) (0 \leq t \leq 2 π)$

Ответ

$\frac{2 5 6}{1 5} a^{3}$

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!

Указание

Для вычисления криволинейного интеграла первого рода требуется следующая формула:

$C \int f (x, y) d S = α \int β f (x (t), y (t)) (x^{'} (t))^{2} + (y^{'} (t))^{2} d t$

Решение

$(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} d t = a (1 - cos t)^{2} + sin^{2} t d t = 2 a sin \frac{t}{2} d t$

то

$C \int y^{2} d l = a \int b f (x (t), y (t)) (x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} d t = = 2 a^{3} 0 \int 2 π (1 - cos 2 t)^{2} sin \frac{t}{2} d t = = - 16 a^{3} 0 \int 2 π (1 - cos^{2} \frac{t}{2} + cos^{4} \frac{t}{2}) d (cos \frac{t}{2}) = \frac{2 5 6}{1 5} a^{3}$

Не разобрались?

Спросить

Все поняли?

Поддержать

3954 4224