Демидович
4342
VIIIКратные и криволинейные интегралы
§14Поверхностные интегралы

Вычислить

где — часть поверхности , вырезанная поверхностью .

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Кеша
Указание

Нужно выбрать в качестве локальных координат на цилиндре угол смещённой по оси полярной системы координат и высоту .

Найти для новых координат элемент площади и границы и .

Перейти от поверхностного интеграла к повторному.

Решение

Преобразуем уравнение

Выделим полный квадрат:

Это уравнение задаёт цилиндр c осью, совпадающей с координатной осью , и поднятый на по оси Ж

Иллюстрация 1

Введём смещённые цилиндрические координаты:

Элемент площади :

Найдём граничные условия для из условия .

Так как возведём в квадрат:

Подставим введёную параметризацию:

Таким образом верхняя граница для :

Нижняя:

Теперь найдём границы для . Для этого рассмотрим проекцию на плоскость :

Иллюстрация 2

Проекция — окружность , а .

Найдём точки пересечения этих графиков (для поиска точек пересечения нужен график ). Для этого раскорем модуль и решим две системы уравнений:

Рассмотрим решение только первой системы уравнений, второе решается абсолютно аналогично. Подставим второе уравнение в первое:

Откуда и . Из второго уравнения и .

Аналогично для второй системы , , , .

Таким образом имеется три точки пересечения:

Центр окружности лежит на одной прямой с и . Значит угол меняется от до .

Используя всё, что было получено на предыдущих шагах перейдём от исходного поверхностного интеграла первого рода к повторному:

Сделаем теперь замену переменных:

Функция косинуса чётная и переодическая. Поэтому интеграл от до можно представить как сумму двух интегралов от до . Таким образом границы интегрирования после замены переменных станут от до .

Продолжим с новой переменной:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!