Докажем от противного. Пусть $e$ — рациональное число, то есть его можно представить в виде следующей дроби:

$$e=\frac{p}{q},(p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N})$$

В задаче 72 мы доказали, что

$$e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}+\frac{{\Theta }_n}{n!n}$$

То есть

$$\frac{p}{q}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}+\frac{{\Theta }_n}{n!n}$$

$$pn!n=qn!n+qn!n+3\cdot 4\cdot n!nq+\dots +nq+{\Theta }_n$$

Число $pn!n$ — целое. Все слагаемые справа, кроме ${\Theta }_n$ — тоже целые числа. Выходит, и ${\Theta }_n$ должно быть целым числом (иначе не получится в результате суммы получить целое $pn!n$).

Но мы знаем, что $0<{\Theta }_n<1$, то есть оно не является целоым числом. Получили противоречие.

Значит $e$ — иррациональное число.

$■$