§2. Теория последовательностей

Пусть

$$x_n=\frac{n}{n+1}(n=1,2,\dots ).$$

Доказать, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=1,$$

определив для каждого $\epsilon >0$ число $N=N(\epsilon )$ такое, что

$$|x_n-1|<\epsilon \text{, если }n>N.$$

Заполнить следующую таблицу:

$$\begin{array}{cccccc}\epsilon & 0.1& 0.01& 0.001& 0.0001& \dots \\ N& & & & & \end{array}$$

Доказать, что $x_n(n=1,2,\dots )$ есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный $0$), указав для всякого $\epsilon >0$ число $N=N(\epsilon )$, такое, что $|x_n|<\epsilon$ при $n>N$, если:

$$\begin{array}{ll}\text{а) }{x}_n=\frac{(-1{)}^{n+1}}{n};& \text{б) }{x}_n=\frac{2n}{n^3+1};\\ \text{в) }{x}_n=\frac{1}{n!};& \text{г) }{x}_n=(-1{)}^n\cdot 0.999^n.\end{array}$$

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:

$$\begin{array}{ccccc}\epsilon & 0.1& 0.001& 0.0001& \dots \\ N& & & & \end{array}$$

Доказать, что последовательности:

$$\text{а) }{x}_n=(-1{)}^{n}n,\text{б) }{x}_n=2^{\sqrt{n}},\text{в) }{x}_n=\lg (\lg n)(n\ge 2)$$

имеют бесконечный предел при $n\to \infty$ (т.е. являются бесконечно большими), определив для всякого $E>0$ число $N=N(E)$ такое, что $|x_n|>E$ при $n>N$.

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу: $$\begin{array}{cccccc}E& 10& 100& 1000& 10000& \dots \\ N& & & & & \end{array}$$

Показать, что

$$x_n=n^{(-1{)}^n}(n=1,2,\dots )$$

не ограничена, однако не является бесконечно большой при $n\to \infty$.

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:

$$\text{а) }\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\infty ;\text{б) }\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=-\infty ;\text{в) }\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=+\infty .$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{10000n}{n^2+1}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{n^2}\sin n!}{n+1}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(-2{)}^n+3^n}{(-2^{n+1}+3^{n+1})}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+a+a^2+\dots +a^n}{1+b+b^2+\dots +b^n}(|a|<1,|b|<1)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\dots +\frac{n-1}{n^2}\right)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{1}{n}-\frac{2}{n}+\frac{3}{n}-\dots +\frac{(-1{)}^{n-1}n}{n}\right|$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{1^2}{n^3}+\frac{2^2}{n^3}+\dots +\frac{(n-1{)}^2}{n^3}\right]$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{1^2}{n^3}+\frac{3^2}{n^3}+\dots +\frac{(2n-1{)}^2}{n^3}\right]$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\dots +\frac{2n-1}{2^n}\right)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{n(n+1)}\right]$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{2}\sqrt[4]{2}\sqrt[8]{2}\dots \sqrt[2n]{2}\right)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{2^n}=0$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n}{n!}=0$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^k}{a^n}=0(a>1)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a^n}{n!}=0$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{q}^n=0,\text{если }|q|<1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1(a>0)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\log }_{a}n}{n}=0(a>1)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0$$

Какое выражение больше при достаточно больших $n$:

$$\begin{array}{rl}& \text{a) }100n+200\text{ или }0.01n^2?;\text{б) }{2}^n\text{ или }{n}^{1000}?;\\ & \text{в) }1000^n\text{ или }n!?\end{array}$$

Доказать, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{2n-1}{2n}\right)=0$$

Доказать, что последовательность

$$x_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n(n=1,2,\dots )$$

монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность

$$y_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}(n=1,2,\dots )$$

монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}=e$$

Доказать, что

$$0<e-{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<\frac{3}{n}(n=1,2,\dots ).$$

При каких значениях показателя $n$ выражение ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ будет отличаться от числа $e$ меньше чем на $0.001$?

Пусть $p_n(n=1,2,\dots )$ — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к $+\infty$ и $q_n(n=1,2,\dots )$ — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к $-\infty (p_n,q_n\overline{\in }[-1,0])$. Доказать, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{p_n}\right)}^{p_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{q_n}\right)}^{q_n}=e$$

Зная, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e,$$

доказать, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}\right)=e.$$

Вывести отсюда формулу

$$e=2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n!}+\frac{{\Theta }_n}{n!n},$$

где $0<\Theta <1$, и вычислить число $e$ с точностью до $10^{-5}$.

Доказать, что число $e$ иррационально.

Доказать неравенства

$${\left(\frac{n}{e}\right)}^n<n!<e{\left(\frac{n}{2}\right)}^n$$

Доказать неравенства:

а) $\frac{1}{n+1}<\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}$, где $n$ — любое натуральное число;

б) $1+\alpha <e^{\alpha }$, где $\alpha$ — вещественное число, отличное от нуля.

Доказать, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)=\ln a(a>0),$$

где $\ln a$ есть логарифм числа $a$ при основании $e=2.718\dots$.

$x_n=p_0+\frac{p_1}{10}+\dots +\frac{p_n}{10^n}(n=1,2,\dots )$, где $p_i(i=0,1,2,\dots )$ — целые неотрицательные числа, не превышающие $9$, начиная с $p_1$.

$$x_n=\frac{10}{1}\cdot \frac{11}{3}\dots \frac{n+9}{2n-1}$$

$$x_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\dots \left(1-\frac{1}{2^n}\right)$$

$$x_n=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)\dots \left(1+\frac{1}{2^n}\right)$$

$$x_1=\sqrt{2},x_2=\sqrt{2+\sqrt{2}},\dots ,x_n=\underset{n\text{ корней}}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}}},\dots$$

$x_n=a_0+a_{1}q+\dots +a_n{q}^n$, где

$$|a_k|<M(k=0,1,2,\dots )\text{ и }|q|<1$$

$$x_n=\frac{\sin 1}{2}+\frac{\sin 2}{2^2}+\dots +\frac{\sin n}{2^n}$$

$$x_n=\frac{\cos 1!}{1\cdot 2}+\frac{\cos 2!}{2\cdot 3}+\dots +\frac{\cos n!}{n(n+1)}$$

$$x_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}$$

Говорят, что последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$ имеет ограниченное изменение, если существует число $C$ такое, что

$$|x_2-x_1|+|x_3-x_2|+\dots +|x_n-x_{n-1}|<C(n=2,3,\dots )$$

Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится.

Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения.

Сформулировать, что значит, что для данной последовательности не выполнен критерий Коши.

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности

$$x_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}$$

Доказать, что если последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$ сходится, то любая ее подпоследовательность $x_{p_n}$ также сходится и имеет тот же самый предел:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{p_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$$

Доказать, что монотонная последовательность будет сходящейся, если сходится некоторая ее подпоследовательность.

Доказать, что если

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a,$$

то

$$\underset{n\to \infty }{\lim }|x_n|=|a|$$

Если $x_n\to a$, то что можно сказать о пределе $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}}{x_n}$?

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность ограничена.

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает любо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой.

Построить примеры последовательностей всех трех типов.

Доказать, что числовая последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$, стремящаяся к $+\infty$, обязательно достигает своей нижней грани.

$$x_n=\frac{n^2}{2^n}$$

$$x_n=\frac{\sqrt{n}}{100+n}$$

$$x_n=\frac{1000^n}{n!}$$

$$x_n=n^2-9n-100$$

$$x_n=n+\frac{100}{n}$$

$$\text{а) }{x}_n=1-\frac{1}{n};\text{б) }{x}_n=(-1{)}^{n-1}\left(2+\frac{3}{n}\right)$$

$$x_n=\frac{(-1{)}^n}{n}+\frac{1+(-1{)}^n}{2}$$

$$x_n=1+\frac{n}{n+1}\cos \frac{n\pi }{2}$$

$$x_n=1+2(-1{)}^{n+1}+3\cdot (-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}$$

$$x_n=\frac{n-1}{n+1}\cos \frac{2\pi n}{3}$$

$$x_n=(-1{)}^{n}n$$

$$x_n=1+n\sin \frac{n\pi }{2}$$

$$x_n=\frac{1}{n-10.2}$$

$$x_n=\frac{n^2}{1+n^2}\cos \frac{2n\pi }{3}$$

$$x_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\cdot (-1{)}^n+\sin \frac{n\pi }{4}$$

$$x_n=\frac{n}{n+1}{\sin }^2\frac{n\pi }{4}$$

$$x_n=\sqrt[n]{1+2^{n(-1{)}^n}}$$

$$x_n={\cos }^n\frac{2n\pi }{3}$$

$$\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{8},\frac{7}{8},\dots ,\frac{1}{2^n},\frac{2^n-1}{2^n},\dots$$

$$\begin{gathered} 1,\frac{1}{2},1+\frac{1}{2},\frac{1}{3},1+\frac{1}{3},\frac{1}{2}+\frac{1}{3},\frac{1}{4},1+\frac{1}{4},\frac{1}{2}+\frac{1}{4},\frac{1}{3}+\frac{1}{4}, \\ \frac{1}{5},\dots ,\frac{1}{n},1+\frac{1}{n},\frac{1}{2}+\frac{1}{n},\dots ,\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\dots \end{gathered}$$

$$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},\dots$$

$$x_n=3\left(1-\frac{1}{n}\right)+2(-1{)}^n$$

$$x_n=\frac{1}{2}[(a+b)+(-1{)}^n(a-b)]$$

Построить пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов числа

$$a_1,a_2,\dots ,a_p$$

Построить пример числовой последовательности, для которой все члены данной числовой последовательности

$$a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots$$

являются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?

Построить пример последовательности:

а) не имеющей конечных частичных пределов;
б) имеющей единственный конечный частичный предел, но не являющейся сходящейся;
в) имеющей бесконечное множество частичных пределов;
г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число.

Доказать, что последовательности $x_n$ и $y_n=x_n\sqrt[n]{n}(n=1,2,\dots )$ имеют одни и те же частичные пределы.

Доказать, что из ограниченной последовательности $x_n(n=1,2,\dots )$ всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{p_n}(n=1,2,\dots )$.

Доказать, что если последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$ не ограничена, то существует подпоследовательность $x_{p_n}$ такая, что

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{p_n}=\infty$$

Пусть последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$ сходится, а последовательность $y_n(n=1,2,\dots )$ расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей:

$$\text{а) }{x}_n+y_n;\text{б) }{x}_n{y}_n$$

Привести соответствующие примеры.

Пусть последовательности $x_n$ и $y_n(n=1,2,\dots )$ расходятся. Можно ли утверждать, что последовательности:

$$\text{а) }{x}_n+y_n;\text{б) }{x}_n{y}_n$$

также расходятся?

Пусть $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$, и $y_n(n=1,2,\dots )$ — произвольная последовательность. Можно ли утверждать, что $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=0$? Привести соответствующие примеры.

Пусть

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n{y}_n=0.$$

Следует ли отсюда, что либо $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$, либо $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=0$?

Рассмотреть пример: $x_n=\frac{1+(-1{)}^n}{2}$, $y_n=\frac{1-(-1{)}^n}{2}(n=1,2,\dots )$.

Доказать, что:

$$\text{а) }\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n;$$

$$\text{б) }\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)\le \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n$$

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Пусть $x_n\ge 0$ и $y_n\ge 0(n=1,2,\dots )$. Доказать, что:

$$\text{а) }\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\cdot \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n{y}_n)\le \underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\cdot \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n;$$

$$\text{б) }\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\cdot \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n\le \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n{y}_n)\le \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\cdot \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n$$

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Доказать, что если $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ существует, то какова бы ни была последовательность $y_n(n=1,2,\dots )$, имеем:

$$\begin{gathered} \text{а) }\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n; \\ \text{б) }\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n{y}_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\cdot \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n(x_n\ge 0). \end{gathered}$$

Доказать, что если для некоторой последовательности $x_n(n=1,2,\dots )$, какова бы ни была последовательность $y_n(n=1,2,\dots )$, имеет место по меньшей мере одно из равенств:

$$\text{а) }\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n+y_n)=\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n+\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n$$

или

$$\text{б) }\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}(x_n{y}_n)=\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\cdot \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{y}_n(x_n\ge 0),$$

то последовательность $x_n$ — сходящаяся.

Доказать, что если $x_n>0(n=1,2,\dots )$ и

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\cdot \overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}\frac{1}{x_n}=1,$$

то последовательность $x_n$ — сходящаяся.

Доказать, что если последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$ ограничена и

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_{n+1}-x_n)=0,$$

то частичные пределы этой последовательности расположены всюду плотно между ее нижним и верхним пределами:

$$l=\underline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n\text{ и }L=\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n$$

т.е. любое число из отрезка $[l,L]$ является частичным пределом данной последовательности.

Пусть числовая последовательность $x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$ удовлетворяет условию

$$0\le x_{m+n}\le x_m+x_n(m,n=1,2,\dots )$$

Доказать, что $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{n}$ существует.

Доказать, что если последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$ сходится, то последовательность средних арифметических

$${\xi }_n=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots +x_n)(n=1,2,\dots )$$

также сходится и

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n.$$

Обратное утверждение неверно: построить пример.

Доказать, что если

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=+\infty ,$$

то

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}=+\infty$$

Доказать, что если последовательность $x_n(n=1,2,\dots )$ сходится и $x_n>0$, то

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x_1{x}_2\dots x_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$$

Доказать, что если $x_n>0(n=1,2,\dots )$, то

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}}{x_n},$$

предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.

Доказать, что $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n}!}=e$.

Доказать теорему Штольца, если

$$\begin{array}{rl}& \text{а) }{y}_{n+1}>y_n(n=1,2,\dots );\text{б) }\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=+\infty ,\\ & \text{в) существует }\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n},\end{array}$$

то

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$$

Найти:

$$\text{а) }\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2}{a^n}(a>1);\text{б) }\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\lg n}{n}$$

Доказать, что если $p$ — натуральное число, то:

$$\begin{gathered} \text{а) }\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^p+2^p+\dots +n^p}{n^{p+1}}=\frac{1}{p+1}; \\ \text{б) }\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1^p+2^p+\dots +n^p}{n^p}-\frac{n}{p+1}\right)=\frac{1}{2}; \\ \text{в) }\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^p+3^p+\dots +(2n-1{)}^p}{n^{p+1}}=\frac{2^p}{p+1} \end{gathered}$$

Доказать, что последовательность

$$x_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}-\ln n(n=1,2,\dots )$$

сходится.

Таким образом, имеет место формула

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}=C+\ln n+{\epsilon }_n,$$

где $C=0.577216\dots$ — так называемая постоянная Эйлера и ${\epsilon }_n\to 0$ при $n\to \infty$.

Найти

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots +\frac{1}{2n}\right)$$

Последовательность чисел $x_n(n=1,2,\dots )$ определяется следующими формулами:

$$x_1=a,x_2=b,x_n=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}(n=3,4,\dots ).$$

Найти $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$.

Пусть $x_n(n=1,2,\dots )$ — последовательность чисел, определяемая следующей формулой:

$$x_0>0,x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right)(n=0,1,2,\dots ).$$

Доказать, что $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=1$.

Доказать, что последовательности $x_n$ и $y_n(n=1,2,\dots )$, определяемые следующими формулами:

$$x_1=a,y_1=b,x_{n+1}=\sqrt{x_n{y}_n},y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2},$$

имеют общий предел

$$\mu (a,b)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$$

(арифметико-геометрическое средее чисел $a$ и $b$).